Approximation rationnelle de sous-espaces vectoriels

par Elio Joseph

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Stéphane Fischler.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Arithmétique et géométrie algébrique (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    Soient T et V deux sous-espaces vectoriels de R^n. Notons t = dim(T), d = dim(V) et e = min(d,t); on suppose pour simplifier t,d ≤ n/2 et e ≥ 1. Alors la proximité de T et V est mesurée par e angles canoniques 0 ≤ α1 ≤ ... ≤ αe ≤ π/2. Si V est défini sur Q, sa complexité est mesurée par sa hauteur H(V). Fixons le sous-espace T et l'entier d. Notons μ_d(T) la borne supérieure (éventuellement +∞) de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de sous-espaces vectoriels V de dimension d, définis sur Q, tels que les e angles canoniques entre V et T soient inférieurs à H(V)^(−μ). Le but de la thèse est d'apporter une réponse aux questions suivantes, posées par Schmidt en 1967 et résolues seulement lorsque e = min(d, t) est égal à 1 : • Lorsque n, d et t sont fixés, quelle est la plus petite valeur possible pour μ_d(T)? • Quelle est la valeur générique de μ_d(T ), au sens de la mesure de Lebesgue ? Coïncide-t-elle avec la précédente ? • Que se passe-t-il si T est défini sur Q ? Une piste envisagée pour réaliser des progrès en direction de ces questions est d'utiliser la géométrie paramétrique des nombres, introduite par Schmidt et Summerer depuis 2009 et développée notamment par Roy. Les progrès espérés dans l'étude de ce problème sont susceptibles d'être appliqués à des généralisations du critère d'indépendance linéaire de Nesterenko.

  • Titre traduit

    Diophantine approximation of linear subspaces


  • Résumé

    Let T and V be linear subspaces of Rn. Let t = dim(T), d = dim(V) and e = min(d, t); assume for simplicity that t, d ≤ n/2 and e ≥ 1. Then e canonical angles 0≤α1 ≤...≤αe ≤π/2 measure how closeT and V are. If V is defined over Q, its complexity is measured by its height H(V). Let us fix the subspace T and the integer d. Let μ_d(T) denote the supremum (possibly +∞) of the set of real numbers μ for which there exist infinitely many linear subspaces V of dimension d, defined over Q, such that the e canonical angles between V and T are less than H(V)^(−μ). The aim of this thesis is to answer the following questions, asked by Schmidt in 1967 and solved only when e = min(d, t) is equal to 1: • When n, d, and t are fixed, what is the least possible value of μ_d(T)? • What is the generic value of μ_d(T), with respect to Lebesgue measure? Is it equal to the previous one? • What happens if T is defined over Q? A possible track to attack these questions is to use the parametric geometry of numbers, introduced by Schmidt and Summerer since 2009, and developed in particular by Roy. Answering these questions may lead to new results concerning generalizations of Nesterenko's linear independence criterion.