Anneau de Cox de variétés avec action de groupe

par Antoine Vezier

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Michel Brion.

Thèses en préparation à Grenoble Alpes , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Institut Fourier (laboratoire) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    L'anneau de Cox est un important invariant associé à toute variété algébrique projective satisfaisant des hypothèses naturelles ; il est étudié en détail dans un livre récent. Cet anneau a été déterminé pour certaines classes de variétés dans lesquelles un groupe algébrique opère avec une orbite ouverte : tout d'abord les variétés toriques, puis les variétés sphériques. La classification de ces variétés en termes combinatoires joue un rôle central dans ces travaux. Une généralisation naturelle des variétés toriques et sphériques est formée des variétés de complexité un ; en gros, elles sont munies d'une action d'un groupe algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. Dans ce cadre, l'anneau de Cox n'a été décrit que sous des hypothèses supplémentaires très restrictives. Le sujet de thèse proposé porte tout d'abord sur la description de l'anneau de Cox pour les variétés de complexité un ; celles-ci admettent également une classification combinatoire, qui est cependant moins développée que celle des variétés sphériques. Un autre problème est de déterminer d'autres invariants de ces variétés, notamment le cône des diviseurs effectifs et sa décomposition en chambres donnée par la théorie de Mori. Ce dernier problème est résolu pour les variétés toriques, mais le cas des variétés sphériques est ouvert ; une classe d'exemples intéressants a été traitée très récemment..

  • Titre traduit

    Cox ring of varieties with group action


  • Résumé

    The Cox ring is an important invariant attached to any projective algebraic variety satisfying some natural assumptions; it is extensively studied in a recent book. This ring has been determined for certain classes of varieties in which an algebraic group acts with an open orbit: first toric varieties, and then spherical varieties. The combinatorial classification of these varieties features prominently in these works. A natural generalization of toric and spherical varieties consists of the varieties of complexity one; in loose terms, these come with an action of an algebraic group such that general orbits have codimension one. In this setting, the Cox ring has only been described under very restrictive assumptions. The proposed thesis subject aims first at a description of the Cox ring for varieties of complexity one ; these also admit a combinatorial classification, albeit less precise than for spherical varieties. A second problem is to determine further invariants of interest of these varieties; most notably, the cone of effective divisors and its chamber decomposition defined via Mori theory. The latter problem has been solved for toric varieties, but the case of spherical varieties is open; an interesting class of examples has been treated very recently.