Développement de méthodes d'homogénéisation numérique par transformée de Fourier rapide pour les milieux hétérogènes avec discontinuités d'interface.

par Ludovic Taut

Projet de thèse en Mécanique

Sous la direction de Vincent Monchiet.

Thèses en préparation à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec MSME - Laboratoire de Modélisation et Simulation Multi Echelle (laboratoire) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    Les méthodes d'homogénéisation ont été largement développées ces dernières décennies pour mieux comprendre le lien entre propriétés des matériaux en lien avec leurs microstructures. Un des points central de ces méthodes est la formulation de systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) sur une cellule élémentaire représentative du milieu hétérogène à l'échelle locale. Des efforts considérables ont été réalisés pour mettre au point des méthodes de résolution numérique robustes pour résoudre ces systèmes d'EDP. Il s'agit essentiellement des méthodes classiques basées sur les éléments finis ou les volumes finis. Une autre classe de méthode, dites méthodes FFT, utilisent les transformées de Fourier et les opérateurs de Green du milieu périodique. Ces méthodes ont été mises au point dans les années 90 par l'équipe du LMA de Marseille. Leur simplicité de programmation, la réduction significative des besoins en mémoire calcul et la rapidité de résolution sont des avantages qui expliquent le récent engouement de la communauté scientifique. Néanmoins ces méthodes sont limitées à la résolution de problèmes dont les champs restent continus aux interfaces. Un grand nombre de problèmes font appels à des champs discontinus :conductions thermique avec résistance d'interface (Kapitza, 1941), composites nano renforcées avec interfaces cohérentes (Gurtin et Murdoch, 1975), écoulements de fluides en milieu poreux avec glissement à la paroi (Maxwell, 1879) ou encore les écoulements en milieux multiporeux (Beavers-Joseph, 1967- Saffman, 1971)…. Récemment, une méthode de résolution basée sur la FFT a été proposée au laboratoire MSME (Monchiet, 2017) pour traiter les problèmes de conduction avec résistance d'interface. La méthode utilise toujours les ingrédients de base la méthode, à savoir la transformée de Fourier rapide, les opérateurs de Green et une résolution par des schémas itératifs. Les discontinuités sont introduites en considérant, dans un cadre variationnel standard, des champs supplémentaires discontinus. La méthode a été développée pour des problèmes bidimensionnels avec des inclusions circulaires. L'objectif de la thèse est de poursuivre ces travaux de recherche afin d'améliorer la méthode et de l'étendre à d'autres types de problèmes. Le travail à réaliser est imposant compte tenu de la diversité des problèmes que l'on peut rencontrer dans le cadre de l'homogénéisation et faisant appel à des modèles d'interfaces imparfaites.

  • Titre traduit

    Numerical homogenization methods development by fast Fourier transform for heterogeneous media with interface discontinuities.


  • Résumé

    Homogenization methods have been improved to better understand the link between the materials properties and their microstructures. One of the central points of these methods is the formulation of systems of partial differential equations (PDEs) on an elementary cell representative of the heterogeneous medium at the local scale. Efforts have been made to develop robust numerical resolution methods to solve these PDE systems. It is essentially conventional methods on finite elements or finished volumes. Another class of method, with FFT methods, Fourier transforms and periodic Green operators. These methods were developed in the 90's by the LMA team in Marseille. Their simplicity of programming, the significant reduction of memory requirements and the speed of resolution are the advantages that explain the recent enthusiasm of the scientific community. These methods are limited to solving problems whose fields remain continuous at the interfaces. A large number of problems involve discontinuous fields: thermal conduction with interface resistance (Kapitza, 1941), nanometric composites with coherent interfaces (Gurtin and Murdoch, 1975), fluid flows in porous media with slip at the same time. wall (Maxwell, 1879) or flows in multiporous environments (Beavers-Joseph, 1967- Saffman, 1971) .... Recently, an FFT-based method has been proposed to the MSME laboratory (Monchiet, 2017) to deal with conduction problems with interface resistance. The method always uses the basic ingredients of the method, namely the fast Fourier transform, the Green operators and a resolution by iterative schemes. Discontinuities are introduced into, within a standard variational framework, discontinuous additional fields. The method developed for two-dimensional problems with circular inclusions. The goal of this thesis is to continue this research work to improve the method and extend to other types of problems. The work is important in the variety of problems that can be encountered in the context of homogenization call to models of imperfect interfaces.