Estimation bayésienne de mesures de risque extrêmes: Application à l'assurance de catastrophes naturelles.

par Meryem Bousebata

Projet de thèse en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Stéphane Girard et de Geoffroy Enjolras.

Thèses en préparation à Grenoble Alpes , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble) (laboratoire) et de MISTIS (equipe de recherche) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    La théorie des valeurs extrêmes est une branche de la statistique qui s'intéresse aux valeurs extrêmes des distributions de probabilité. Plus précisément, elle se concentre sur les distributions limites pour le minimum ou le maximum d'une grande collection d'observations aléatoires provenant de la même distribution arbitraire (inconnue). Dans les statistiques de valeur extrême, les principaux problèmes sont l'estimation de l'indice de queue et quantiles extrêmes associés à une variable aléatoire d'intérêt X. L'indice de queue détermine la lourdeur de la queue de la distribution de la variable aléatoire considérée. Dans une perspective d'analyse des risques, le quantile extrême associé à X est appelé Value at Risk et a fait l'objet d'études approfondies. Récemment, de nombreux efforts ont été déployés pour définir d'autres mesures du risque extrême fondées soit sur les expectiles, Lp - quantiles, ou des extensions du déficit prévu. Cependant, étant donné que ces méthodes sont fondées sur des valeurs extrêmes, leur applicabilité est limitée à des échantillons de grande taille. L'objectif de cette thèse est de contribuer au développement de méthodes bayésiennes pour l'estimation des mesures de risques extrêmes. Dans cette thèse nous allons étudier comment l'introduction d'informations préalables sur la distribution de X peut améliorer l'estimation des mesures de risques extrêmes sur de petits échantillons. Cependant, l'estimation quantile extrême et les mesures de risque extrêmes alternatives mentionnées ci-dessus n'ont pas fait l'objet de nombreux développements. Cette direction novatrice est prometteuse, car l'introduction de l'information a priori du modèle peut permettre d'affiner les estimateurs (réduction de la variance). Cette étude sera appliquée en assurance dans le secteur agricole dont les rendements et les prix sont directement exposés aux aléas naturels.

  • Titre traduit

    Bayesian estimation of extreme risk measures : Application to the insurance of natural disasters.


  • Résumé

    Extreme-value theory is a branch of statistics dealing with the extreme deviations from the bulk of probability distributions. More specifically, it focuses on the limiting distributions for the minimum or the maximum of a large collection of random observations from the same arbitrary (unknown) distribution. In extreme-value statistics, the main problems are the estimation of the tail index and extreme quantiles associated to a random variable of interest X. The tail index drives the distribution tail heaviness of the considered random variable distribution. In a risk analysis perspective, the extreme quantile associated with X is referred to as the Value at Risk and has been extensively studied. Recently, many efforts have been done to define alternative extreme risk measures based either on expectiles, Lp- quantiles, or extensions of the Expected Shortfall. However, since these methods are extreme-value based, their applicability is restricted to large sample sizes. The goal of this PhD work is to contribute to the development of Bayesian methods for the estimation of extreme risk measures. In this PhD we will work to investigate how introducing prior information on the distribution of X can improve the estimation of extreme risk measures on small samples. However, extreme quantile estimation and alternative extreme risk measures as mentioned above have not been the object of many developments. This innovative direction is promising as providing prior information to the model may allow for a sharpening of the estimators (variance reduction). The application of this study is the insurance in the agricultural sector whose yields and prices are directly exposed to natural hazards.