Aspects combinatoires et algorithmiques de la Reconfiguration

par Valentin Bartier

Projet de thèse en Mathématiques et Informatique

Sous la direction de Myriam Preissmann.


  • Résumé

    Les heuristiques de recherche locale, utilisées depuis de nombreuses années, sont extrêmement efficaces en pratique. Et des résultats récents ont montré qu'elles fournissent aussi de bonnes garanties théoriques dans certains cas. Ces algorithmes sont généralement très faciles à mettre en œuvre, une fois qu'on a trouvé un moyen pertinent pour opérer une légère modification locale d'une solution. Une façon de considérer ce genre d'algorithmes est la suivante: Commencer par une solution (non optimale) ; Explorer toutes les solutions qui peuvent être obtenues à partir de celle-ci via une petite modification (par exemple, la suppression ou l'ajout d'un sommet) ; Choisir une nouvelle solution «meilleure» (de manière déterministe ou aléatoire) ; Répéter jusqu'à ce qu'une solution raisonnable soit obtenue. Cette approche soulève plusieurs questions théoriques importantes. Peut-on explorer tout l'espace des solutions de cette façon? De manière équivalente, dans le cadre randomisé, si l'on voit l'algorithme comme une chaîne de Markov, est-elle ergodique? Est-ce qu'elle mélange rapidement les solutions? (c'est-à-dire, chaque solution peut-elle être atteinte avec une probabilité 'raisonnable' après un nombre 'raisonnable' d'étapes?). Ces questions sont au cœur de la reconfiguration combinatoire. La reconfiguration combinatoire consiste à transformer une solution d'un problème donné en une autre. Certains aspects de l'instance (objectif, contraintes ...) peuvent changer avec le temps, surtout dans un environnement dynamique. Quand cela arrive, on voudrait pouvoir reconfigurer une solution existante en un nouvelle, plus souhaitable. Pour des raisons opérationnelles (par exemple, si les données ne peuvent pas être stockées en mémoire), il peut être nécessaire d'effectuer cette transformation par petites étapes, en conservant à tout moment les propriétés souhaitées. La faisabilité et d'autres aspects de ces transformations pas à pas ont été au centre de la recherche dans le domaine de la reconfiguration combinatoire. Ces problèmes ont reçu un intérêt croissant au cours de la dernière décennie. Trois questions apparaissent naturellement lorsque l'on considère des problèmes de reconfiguration combinatoire: 1. Quelles transformations élémentaires garantissent la transformation de toute solution réalisable dans une autre? 2. De combien d'itérations avons-nous besoin pour effectuer cette transformation? 3. Pouvons-nous trouver efficacement une (plus courte) transformation ? Pendant les trois années de la thèse, l'étudiant se concentrera sur les aspects structurels et algorithmiques de la reconfiguration. En particulier: 1. Recoloration combinatoire de graphes. Deux colorations propres sont dites incidentes si elles diffèrent sur exactement un sommet. La question est de déterminer s'il est possible, étant donné un graphe et un nombre entier k, de transformer n'importe quelle k-coloration en une autre. Et si oui, combien d'étapes sont-elles nécessaires ? Ces questions sont centrales pour l'échantillonnage des configurations dans le modèle antiferromagnétique de Potts en physique statistique. Il y a depuis longtemps des problèmes ouverts dans ce domaine, par exemple la conjecture de Cereceda selon laquelle O (n^2) étapes sont suffisantes pour la recoloration des (d + 2)-colorations d'un graphe d-dégénéré. Ce problème est toujours ouvert même pour d = 2 ou sur des classes de graphes dégénérés très simples tels que les graphes planaires. Une autre question intéressante concernant les applications est la suivante: existe-t-il une transformation linéaire entre n'importe quelle paire de colorations? Une réponse positive est une condition préalable pour l'existence d'algorithmes d'échantillonnage efficaces. 2. Questions algorithmiques. Soit G un graphe et c1, c2 deux colorations de G. Beaucoup de travaux récents essaient de décider de la complexité de déterminer si c1 peut être transformée en c2. Le statut de la complexité (paramètre ou non) reste ouvert même pour des classes de graphes très simples telles que les graphes d'intervalles (propres) ou les graphes planaires. 3. Reconfiguration et échantillonnage. Comme nous l'avons déjà mentionné, la recoloration des graphes a été introduite pour étudier des problèmes d'échantillonnage. En particulier, une limite inférieure de la longueur minimum de la transformation entre toute paire de colorations fournit une limite inférieure sur le temps de mixage de la chaîne de Markov sous-jacente. Cependant, l'inverse n'est pas vrai. Afin d'obtenir un temps de mixage rapide, nous avons besoin de propriétés plus fortes, notamment en ce qui concerne la connectivité du graphe de reconfiguration. En langage informel : nous avons besoin de beaucoup de transformations de même longueur entre deux colorations pour garantir un temps de mixage rapide.

  • Titre traduit

    Combinatorial and Algorithmic aspects of Recon guration


  • Résumé

    Local search heuristics have long been known to be extremely efficient in practice, and recent breakthrough results have shown that they also come with good theoretical guarantees in some cases. These algorithms are usually very easy to implement, once a meaningful way to locally slightly modify a solution has been found. One way to see this kind of algorithms is as follows: Start with some (non optimal) solution; Explore all the solutions that can be obtained from it by a small modification (for instance, the removal or addition of a vertex); Choose some 'better' new solution (in a deterministic or randomized way); Repeat until a reasonable solution is obtained. This approach raises several important theoretical questions. Can the whole space of solutions be explored in this way? Equivalently, in the randomized setting, if one sees the algorithm as a Markov chain, is it ergodic? Is it rapidly mixing? (i.e. can each solution be reached with a reasonable probability in a reasonable number of steps?). These questions are at the heart of combinatorial reconfiguration. Combi- natorial reconfiguration consists in transforming one solution of a given prob- lem into another. Some aspects of the instance (objective, constraints...) may change over time, especially in a dynamic environment. When that happens, one might want to reconfigure an existing solution into a new, more desirable one. For operational reasons (e.g. the data cannot be totally stored in the memory), it might be necessary to perform this transformation in small steps, without losing the desired properties at any time. The feasibility and other aspects of such step-by-step transformations have been the focus of research in the area of Combinatorial Reconfiguration. Those problems have received increasing attention over the last decade. Three ques- tions naturally arise when we consider combinatorial reconfiguration problems: 1. Which elementary transformations guarantee the transformation of any feasible solution into any other ? 2. How many steps do we need to perform this transformation? 3. Can we efficiently find a (shortest) transformation? During the three years of the thesis, the student will concentrate on structural and algorithmic aspects of Reconfiguration. In particular: 1. Combinatorial Graph Recoloring. Two proper colorings are incident if they differ on exactly one vertex. The question is to determine if it possible, given a graph and an integer k, to transform any k-coloring into any other. And if yes, how many steps are needed? These questions are central for sampling of configurations in the antiferromagnetic Potts model in statistical physics. Longstanding open problems exist in this eld, for instance the Cereceda's conjecture stating that O(n2) steps are enough for recoloring (d + 2)- colorings of a d-denegerate graph. This problem is still open even for d = 2 or on very simple degenerate graph classes such as planar graphs. Another question of interest with regards to the applications is the follow- ing: do we have a linear transformation between any pair of colorings? A positive answer is a prerequisite for efficient sampling algorithms. 2. Algorithmic Questions. Let G be a graph and c1; c2 be two colorings of G. Many recent papers try to decide the complexity of determining if c1 can be transformed into c2. The complexity status (parameterized or not) remains open even for very simple classes of graphs such as (proper) interval graphs or planar graphs. 3. Reconfiguration and Sampling. As we already mentioned, graph recoloring has been introduced to study sampling problems. In particular, a lower bound on the minimum length transformation between any pair of coloring provides a lower bound on the mixing time of the underlying Markov chain. However, the converse is not true. In order to get a rapid mixing time, we need stronger properties, in particular with respect to the connectivity of the reconfiguration graph. Informally speaking, we need a lot of transformations of the same length between any two colorings to guarantee a rapid mixing time.