Schémas d'ordre deux pour les flots de gradient dans des espaces métriques et extensions calculables du problème de transport optimal

par Théo Golvet

Projet de thèse en Sciences

Sous la direction de François-Xavier Vialard.

Thèses en préparation à Paris Sciences et Lettres , dans le cadre de Ecole doctorale de Dauphine (Paris) , en partenariat avec Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision (laboratoire) et de Université Paris-Dauphine (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    Un premier objectif de la thèse consistera en l'étude de schémas de résolution des flots de gradient dans les espaces métriques. En effet, depuis son introduction le schéma d'Euler implicite variationnel de Jordan, Kinderlehrer et Otto a été adapté et utilisé pour obtenir des approximations numériques de solutions d'équations d'évolution caractérisées par un flot de gradient. Tout récemment, des approches d'ordre plus élevé ont été proposées. Dans la continuité des résultats préliminaires obtenus pour ces méthodes, on s'intéressera au développement d'algorithmes efficaces permettant leur application pratique à la résolution de problèmes multidimensionnels. La seconde partie de la thèse s'attachera au développement d'extensions du transport optimal qui restent calculables en vue d'applications en traitement d'images et aux flots de gradients. On explorera pour ce faire les méthodes d'optimisation non lisses pour ce type de formulation. L'extension des métriques de Wasserstein de type L2 à des mesures à valeurs vectorielles, ou plus généralement à valeurs dans des cônes sera également considérée. Ces nouveaux outils fourniront de nouvelles métriques, par exemple sur l'espace des matrices de corrélation temporelles ou encore des images du tenseur de diffusion (DTI).

  • Titre traduit

    Second order schemes for gradients flows in metric space and generalized optimal transport.


  • Résumé

    A first goal of this thesis consists in studying numerical schemes for gradient flows in metric spaces. Since its introduction, the variational implicit Euler scheme of Jordan, Kinderlehrer and Otto has been adapted to obtain numerical approximations of solutions to evolutions systems characterized by a gradient flow. Recently, higher order approaches has been considered. Following preliminary results obtained for these methods, the development of efficient algorithms and their application to multidimensional problems will be studied. The second part of this thesis will be devoted to developing generalizations of optimal transport with applications to image processing and gradient flows. For this purpose, the use of non smooth optimization techniques will be studied. The extension of Wasserstein metrics to vector measures or, more generally, measures with values in a cone will be considered. These new tools will provide new metrics, for exemple on the space of time correlation matrices or in Diffusion Tensor Imaging (DTI)