Dispersion ondulatoire et chaos quantique

par Nir Schwartz

Projet de thèse en Mathématiques aux interfaces

Sous la direction de Stéphane Nonnenmacher.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Analyse numérique et équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (1970-2019) (établissement de préparation de la thèse) depuis le 28-06-2018 .


  • Résumé

    Nous nous intéressons à la propagation d'ondes à l'extérieur d'un ensemble d'obstacles bornés. A haute énergie, la dispersion de ces ondes, et la décroissance de leur énergie locale, sont contrôlées par l'ensemble des rayons piégés (appelé "ensemble capté"), qui forme un sous-ensemble de l'espace des phases, invariant par le flot géodésique. Dans une perspective de "chaos quantique", nous nous focalisons sur les situations dans lesquelles cet ensemble est fractal, et porte un flot géodésique hyperbolique (chaotique); c'est par exemple le cas lorsque les obstacles sont strictement convexes. On sait que dans ce cas, si l'ensemble capté est assez fin (petite mesure de Hausdorff), alors l'énergie locale décroît rapidement. En utilisant des résultats récents d'analyse harmonique (un "Principe d'Incertitude Fractal" (PIF) dû à Bourgain et Dyatlov), nous voudrions montrer que, en dimension 2, cette décroissance rapide de l'énergie locale a aussi lorsque l'ensemble capté fractal est "épais" (techniquement, on montrera l'absence de résonances quantiques dans une bande de sous l'axe réel). Cette dispersion rapide permet ensuite de déduire des estimées d'observabilité ou de contrôle sur les ondes dans ce type de géométries d'obstacles. Un projet annexe consiste à étudier les conséquences du PIF sur des dynamiques chaotiques quantiques à temps discret (applications quantiques) sur le tore bidimensionnel, qui ont constitué des modèles jouets de "chaos quantique" très populaires dans la littérature de physique théorique.

  • Titre traduit

    Spectral Problems in Quantum Chaotic Scattering


  • Résumé

    Waves propagating on a manifold of infinite volume (e.g. in the Euclidean space outside of bounded obstacles), the dispersion of the waves and the decay of the local energy is controlled, at high frequency, by the set of trapped rays ("trapped set"), a closed subset of the unit cotangent bundle of the manifold, invariant through the geodesic flow. We are interested in situations where this trapped set is a fractal hyperbolic repeller, carrying a chaotic geodesic flow (a situation of "open quantum chaos"). In this case, it was known that the local energy decays fast provided the trapped set is sufficiently "thin" (namely, it has a small Hausdorff dimension). Following recent advances in harmonic analysis, in particular the proof of a new "Fractal Uncertainty Principle" (FUP) by Bourgain and Dyatlov, we plan to remove this assumption of "thinnness", and show that in dimension 2, this fast dispersion (materialized by the absence of resonances in a strip below the real axis) occurs for any hyperbolic repeller. This should explain the fast decay of the local energy in the physically relevant scattering of waves by a set of convex obstacles in the plane. This fast decay can also imply observability or control estimates in similar geometries. A second aspect of the project concerns the applications of this FUP to discrete time quantum models (hyperbolic quantum maps) on the 2-dimensional torus phase space, which are popular toy models of quantum chaos in theoretical physics.