Dynamique linéaire: ensembles hypercycliques, semigroupes d'opérateurs, translations sur les groupes.

par Arafat Abbar

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Evgueni Abakoumov.


  • Résumé

    L'objectif de cette thèse est d'étudier certains problèmes relatifs à la dynamique des opérateurs linéaires sur les espaces de Banach. Dans le premier chapitre, nous étudions une version adaptée aux $c_0$-semigroupes de la notion de $Gamma$-supercyclicité, récemment introduite par S. Charpentier, R. Ernst et Q. Menet. En particulier, nous caractérisons complètement les sous-ensembles $Gamma$ de $mathbb{C}$ qui sont tels que tout $c_0$-semigroupe qui est $Gamma$-supercyclique est automatiquement hypercyclique. Nous caractérisons également ceux de ces ensembles $Gamma$ vérifiant la propriété suivante: pour tout espace de Banach $X$, tout $c_0$-semigroupe $mathcal{T}$ sur $X$ et tout $x$ dans $X$, la densité quelque part de l'orbite de $Gamma x$ sous l'action de $mathcal{T}$ implique l'hypercyclicité de $mathcal{T}$. Nous montrons aussi que si l'orbite d'une réunion finie de segments de droites complexes et linéaires, qui ne contient pas $0$, est dense sous l'action d'un $c_0$-semigroupe $mathcal{T}$ sur un espaces de Banach $X$, alors $mathcal{T}$ est hypercyclique. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude de la $Gamma$-supercyclicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translations dans les espaces $L^p$ pondérés sur les groupes localement compacts. Cela nous permet d'étendre la caractérisation de la notion de $S$-densité, introduite par E. Abakumov et Y. Kuznetsova, qui généralise la caractérisation de Salas de l'hypercyclicité de l'opérateur de shift bilatéral, celle de W. Desch, W. Schappacher et G.F. Webb de l'hypercyclicité du semigroupe de translation et également celle de l'hypercyclicité d'un seul opérateur de translation dans les espaces $L^p$ pondérés sur les groupes localement compacts obtenue par C-C. Chen. Plus précisément, après avoir justifié des conditions nécessaires et suffisantes pour que les objets soient bien définis, nous donnons un critère de $Gamma$-supercylicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translation sur les espaces $L^p$ pondérés sur les groupes localement compacts. Le travail présenté dans ce chapitre est issu d'une collaboration avec Y. Kuznetsova. Le troisième chapitre est consacré à la notion de $N$-supercyclicité. L'objectif de ce chapitre est de répondre à une question posée par R. Ernst, concernant l'indice de supercyclicité des blocs de Jordan réels. Dans un travail en cours avec R. Ernst, nous avons d'ores et déjà montré que les blocs de Jordan réels de taille $2N$ ne sont pas $(2N-2)$-supercycliques, ce qui donne une réponse complète à cette dernière. Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous nous intéressons à l'introduction de nouvelles classes d'opérateurs hypercycliques sur les espaces lipschitz-libres. Plus précisément, on s'intéresse à la relation entre les propriétés de dynamique d'une application lipschitzienne $f:Mlongrightarrow M$ définie sur un espace métrique $M$ équipé d'un point distingué, noté $0$, telle que $f(0)=0$ et celles de son extension $widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)$, où $mathrm{F}(M)$ désigne l'espace Lipschitz-libre sur $M$. D'abord, nous donnons un critère, appelé "Critère d'hypercyclicité pour les opérateurs lipschitziens (HCCLO)", qui assure l'hypercyclicité de l'opérateur $widehat{f}$ sous certaines conditions sur $f$. Nous verrons que ce critère implique le critère classique d'hypercyclicité pour les opérateurs de la forme $widehat{f}$, mais que l'implication inverse n'est pas vraie en général. Ensuite, lorsque $M$ est un espace métrique complet séparable, nous montrons que $f$ faiblement mélangeante implique $f$ satisfait (HCCLO). Enfin, nous montrons dans le cas où $M=[a,b]$ et $f$ est transitive que $widehat{f}$ est Devaney chaotique. En particulier, $widehat{f}$ est hypercyclique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec C. Coine et C. Petitjean.

  • Titre traduit

    Linear dynamics: hypercyclic sets, semigroups of operators, translations on groups.


  • Résumé

    This thesis aims to study some problems related to the dynamics of linear operators on Banach spaces. In the first chapter, we study a version adapted to $c_0$-semigroups of the notion of $Gamma$-supercyclicity, recently introduced by S. Charpentier, R. Ernst, and Q. Menet. In particular, we characterize the subsets $Gamma$ of $mathbb{C}$ such that any $c_0$-semigroup that is $Gamma$-supercyclic is hypercyclic. We also characterize the sets $Gamma$ satisfying the following property: for any Banach space $X$, any $c_0$-semigroup $mathcal{T}$ on $X$ and any $x$ in $X$, the textit{somewhere density} of the orbit of $Gamma x$ under $mathcal{T}$ implies the hypercyclicity of $mathcal{T}$. We also show that if the orbit of a finite union of complex and linear segments, which does not contain $0$, under a $c_0$-semigroup $mathcal{T}$ acting on a Banach space $X$ is dense in $X$, then $mathcal{T}$ is hypercyclic. The second chapter is devoted to the study of the $Gamma$-supercylicity of a family of translation operators in weighted $L^p$ spaces on locally compact groups. This allows us to extend the characterization of the notion of $S$-density, introduced by E. Abakumov and Y. Kuznetsova, which generalizes Salas' characterization of the hypercyclicity of bilateral shift operator, that of W. Desch, W. Schappacher, and G.F. Webb of the hypercyclicity of translation semigroup and also that of the hypercyclicity of a single translation operator in the weighted $L^p$ spaces on locally compact groups obtained by C-C. Chen. More precisely, we give a $Gamma$-supercylicity criterion for a family of translation operators in weighted $L^p$ spaces on locally compact groups. This chapter is based on a joint work with Y. Kuznetsova. The third chapter is devoted to the notion of $N$-supercyclicility. The objective of this chapter is to answer a question asked by R. Ernst, concerning the index of supercyclicity of real Jordan blocks. In a work in progress with R. Ernst, we have already shown that real Jordan blocks of size $2N$ are not $(2N-2)$-supercyclic, which gives a complete answer to the latter. In the last chapter of this thesis, we are interested in the introduction of new classes of hypercyclic operators on Lipschitz-free spaces. More precisely, we are interested in the relationship between the dynamical propertie of a Lipschitz map $f: Mlongrightarrow M$ defined on a pointed metric space $M$, equipped with a distinguished point denoted by $0in M$, such that $f(0)=0$ and those of its extension $widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)$, where $mathrm{F}(M)$ stands for Lipschitz-free space on $M$. First, we give a criterion, called "Hypercyclicity criterion for Lipschitz operators (HCCLO)", which ensures the hypercyclicity of the operator $widehat{f}$ under certain conditions on $f$. We show that this criterion implies the classical Hypercyclicity Criterion for the operators of the form $widehat{f}$, but that the inverse implication is not generally true. Next, when $M$ is a complete separable metric space, we show that "$f$ weakly mixing" implies "$f$ satisfies (HCCLO)". Finally, we show in the case where $M=[a,b]$ and $f$ is transitive that $widehat{f}$ is Devaney's chaotic. In particular, $widehat{f}$ is hypercyclic. This is joint work with C. Coine and C. Petitjean.