Systèmes de fonctions holonomes : application à la théorie des automates

par Florent Koechlin

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Cyril Nicaud.


  • Résumé

    Le fil conducteur de ce projet de thèse est d'étudier la non-ambiguïté en théorie des automates via les outils de combinatoire analytique, et de rendre les constructions effectives grâce aux avancées récentes en calcul formel. Les principales directions sont les suivantes : -- Après avoir clarifié les connexions entre les classes de langages RCM et LCL et les classes de langages acceptés par les modèles d'automates à compteurs, on cherchera à obtenir des bornes de complexité en se basant sur l'état de l'art en calcul formel. Se posera ensuite la question d'obtenir directement des algorithmes sur les automates, sans passer par des boîtes noires très générales sur les séries holonomes, même si les bornes issues du calcul formel pourront être utilisées dans les constructions ad-hoc. -- Du point de vue des séries formelles, la classe considérée peut s'exprimer simplement: se sont les projections (sur une seule variable) des produits d'Hadamard d'une série algébrique (en plusieurs variables) par une série rationnelle à coefficient dans {0,1}. Après avoir étudié les propriétés de clôtures de cette sous-famille (produit d'Hadamard, produit de Cauchy, prise de la série caractéristique du support, ...), on cherchera à exhiber des séries holonomes qui n'en font pas partie dans le but de trouver leur pendant en théorie des automates. -- Une autre piste consiste à élargir l'approche à d'autres modèles d'automates (dans leur version non-ambiguë). On peut penser aux automates à poids, aux automates à registres, et aux langages indexés (qui sont une extension naturelle des langages algébriques). Il s'agit également de tester les limites du lien entre des descriptions non-ambiguës et l'holonomie à plusieurs variables. Notamment, il semble naturel d'étudier comment des propriétés de clôture sur les fonctions s'interprètent en théorie des langages (en particulier l'extraction diagonale). -- Enfin, on pourra, dans l'autre sens, s'intéresser à utiliser le pouvoir descriptif des automates en combinatoire, en reprenant la méthodologie systématique développée pour les marches dans le quart de plan. On pourra notamment s'intéresser à des sous-familles des grammaires indexées, qui correspondent à des systèmes d'équations fonctionnelles et semblent donc constituer une piste prometteuse.

  • Titre traduit

    Systems of holonomic functions : application in automata theory


  • Résumé

    This thesis is aiming at studying non ambiguity in automata theory with analytic combinatorics tools, and at making effective constructions using recent progress in computer algebra. The main avenues for research are : -- after having clarified the connection between the classes RCM and LCL, and the classes of languages that are accepted by some models of counter machines, we will look for complexity bounds from computer algebra. Then the question of obtaining these algorithms, directly from the automata, will arise. -- as for formal series, the considered classes are easily expressed : they are projections (in one variable) of the hadamard product of one multivariate algebraic series and a multivariate rational series with 0-1 coefficients. After having studied the closure properties of such functions, we will look for holonomic series out of the scope of this specification, and try to find their counterparts in automata theory. -- we could also widen this approach to other models of automata in their non ambiguous versions : weighted automata, register automata or indexed languages (which are natural generalization of algebraic langages). It would be interesting to test the limits of the link between non ambiguous descriptions and holonomic generating function, and to study how the closure properties of the generating functions can be translated into properties of languages. -- Finally, on the other direction, we could try and use the descriptive power of automata in combinatorics, by following the systematic methodology developed in the study of walks in the quarter plane. In particular, some subfamilies of indexed grammars, corresponding to systems of functional equations seem to be a promising lead.