Méthodes de décomposition de domaine algébriques pour solveurs hybrides (direct/iteratif)

par Louis Poirel

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et calcul scientifique

Sous la direction de Luc Giraud.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Laboratoire bordelais de recherche en informatique (laboratoire) .


  • Résumé

    La résolution de grands systèmes linéaires est une des étapes les plus consommatrices en temps des simulation numérique. Des solveurs linéaires haute performance ont été développés dans un contexte algébrique (à partir du système K u =f) ; d'autres méthodes, dites de décomposition de domaine, offrent d'excellentes performances en exploitant l'information au niveau de l'équation aux dérivées partielles sous-jacente au système linéaire. Dans cette thèse, on tente de concilier ces deux approches: une analyse de convergence des méthodes de Schwarz abstraites à deux niveaux conduit à la définition de nouveaux préconditionneurs robustes pour les problèmes symétriques définis positifs basés sur une généralisation algébrique de la méthode GenEO. Ces préconditionneurs robustes ne nécessitent que la donnée de la matrice K comme une somme de matrices locales Ki symmétriques semi-definies positives. Un préconditionneur robuste suivant cette méthode a été implémenté dans un solveur hybride parallèle distribué et testé sur des cas applicatifs. Une nouvelle boîte à outils de décomposition de domaine a aussi été développée en python pour faciliter le développement de nouveaux solveurs par décomposition de domaines basés sur des solveurs haute performance. Le code de ce module nommé ddmpy est inclus dans le présent document par programmation lettrée dans une approche de science reproductible.

  • Titre traduit

    Algebraic Domain Decomposition Methods for Hybrid (direct/iterative) Solvers


  • Résumé

    The solution of large linear problems is one of the most time consuming kernels in many numerical simulations. On the one hand, the computational linear algebra community has developed several high performance linear solvers that only require algebraic information (the matrix K and its associated right-hand side f) to compute the solution x such that K x = f. On the other hand, the Domain Decomposition (DD) community has developed many efficient and robust methods in the last decades, that take into account the underlying partial differential equation and the geometry to accelerate the solution of such problems. In this thesis, both approaches are combined: an analysis of coarse correction for abstract Schwarz (aS) DD solvers is proposed, leading to a new methodology for building robust preconditioners for Symmetric Positive Definite (SPD) matrices based on an algebraic generalization of the Generalized Eigenvalue in the Overlap (GenEO) approach. The only requirement is that the SPD matrix K is provided as a sum of local symmetric positive semi-definite (SPSD) matrices Ki. A robust preconditioner following this methodology was developed for a sparse hybrid parallel distributed solver and applied on several test cases. A new algebraic parallel DD toolbox in python was developed to facilitate the development of new DD solvers relying on state-of-the-art high performance solvers. This ddmpy module is exposed in this document using a literate programming approach for reproducible science.