Approche bayésienne pour la sélection de modèles Application à la restauration d'image

par Benjamin Harroue

Thèse de doctorat en Automatique, Productique, Signal et Image, Ingénierie cognitique

Sous la direction de Jean-François Giovannelli.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale des sciences physiques et de lu2019ingénieur , en partenariat avec Laboratoire de l'Intégration du Matériau au Système (laboratoire) .


  • Résumé

    L'inversion consiste à reconstruire des objets d'intérêt à partir de données acquises au travers d'un système d'observation. Dans ces travaux, nous nous penchons sur la déconvolution d'image. Les données observées constituent une version dégradée de l'objet, altéré par le système (flou et bruit). A cause de la perte d'informations engendrée, le problème devient alors mal conditionné. Une solution est de régulariser dans un cadre bayésien : en se basant sur des modèles, on introduit de l'information a priori sur les inconnues. Se posent alors les questions suivantes : comment comparer les modèles candidats et choisir le meilleur ? Sur quel critère faut-il s'appuyer ? A quelles caractéristiques ou quantités doit-on se fier ? Ces travaux présentent une méthode de comparaison et de sélection automatique de modèles, fondée sur la théorie de la décision bayésienne. La démarche consiste à sélectionner le modèle qui maximise la probabilité a posteriori. Pour calculer ces dernières, on a besoin de connaître une quantité primordiale : l'évidence. Elle s'obtient en marginalisant la loi jointe par rapport aux inconnus : l'image et les hyperparamètres. Les dépendances complexes entre les variables et la grande dimension de l'image rendent le calcul analytique de l'intégrale impossible. On a donc recours à des méthodes numériques. Dans cette première étude, on s'intéresse au cas gaussien circulant. Cela permet, d'une part, d'avoir une expression analytique de l'intégrale sur l'image, et d'autre part, de faciliter la manipulation des matrices de covariances. Plusieurs méthodes sont mises en œuvre comme l'algorithme du Chib couplé à une chaîne de Gibbs, les power posteriors, ou encore la moyenne harmonique. Les méthodes sont ensuite comparées pour déterminer lesquelles sont les plus adéquates au problème de la restauration d'image.

  • Titre traduit

    Bayesian approach for model selection : image restauration application


  • Résumé

    This thesis studies methodology for image restoration problems. We focus on image deconvolution problems where one seeks to analyze a blurred and noisy observation in order to recover a high-resolution image with fine details. This is an ill-conditioned estimation problem that is frequently formulated in the Bayesian statistical framework, which relies on probabilistic models to describe the data observation process as well as the prior knowledge available and where solutions are derived by using Bayesian decision theory. A natural question in this setting is how to objectively compare different Bayesian models to analyse the observed data: what criteria should we use? which is the best model? what quantities or statistics can we trust? This work studies methodology for objectively comparing alternative Bayesian models to perform image deconvolution, with a focus on automatic Bayesian model selection in the absence of ground truth. Adopting a Bayesian decision-theoretic approach, we select the model with the highest posterior probability given the observed data. These posterior probabilities are determined by the so-called evidence or marginal likelihood of the models, obtained by marginalizing the unknown image and the unknown model hyperparameters. This marginal likelihood is typically intractable, a difficulty that we address by using carefully designed numerical methods. More precisely, we consider the circular Gaussian case, which allows to analytically marginalize the unknown image conditionally to the data and the model hyperparameters, and which simplifies the manipulation of covariances matrices. We compare several numerical methods to calculate model evidences and perform model selection in image deconvolution problems, including the Chib algorithm coupled with a Gibbs sampler, the power posterior algorithm, and the harmonic mean algorithm.