Equations différentielles stochastiques de type Mc Kean-Vlasov et leur contrôle optimal

par Mohamed amine Mezerdi

Projet de thèse en Mathematiques

Sous la direction de Khaled Bahlali et de Nabil Khelfallah.

Thèses en préparation à Toulon en cotutelle avec l'UNIVERSITE MOHAMED KHIDER BISKRA , dans le cadre de 548 "MER ET SCIENCES" , en partenariat avec EA 2134 - INSTITUT DE MATHEMATIQUES DE TOULON (equipe de recherche) depuis le 10-04-2018 .


  • Résumé

    Les équations du type Mc Kean-Vlasov sont apparues pour la première fois dans un travail de Mc Kean sur l’interprétation probabiliste des équations cinétiques de Vlasov qui sont des EDPs non linéaires, sur une suggestion de Marc Kac. Les solutions de ce type d’équation sont appelées diffusions non linéaires. Il s’agit d’équations différentielles stochastiques avec un drift et un coefficient de diffusion dépendant non seulement de la position, mais aussi de la distribution de la solution. Il y a eu un grand regain d’intérêt pour ce genre d’équations suite aux travaux pionniers de P.L. Lions et J.M. Lasry en 2006-2007 sur la théorie des jeux du type champ moyen. Il s’agit de jeux faisant intervenir un grand nombre de joueurs ou d’agents. En supposant qu’il y a de la symétrie ie : les joueurs ont la même influence sur tout le système, il s’en suit qu’à la limite le système sera équivalent à un ensemble de joueurs indépendants et vérifiant la même équation appelée : équation de champ moyen. La théorie des jeux à champ moyen sert à démontrer l’existence d’équilibres de Nash approchés. L’objectif de cette thèse est d’étudier certaines propriétés des équations différentielles stochastiques du type Mc Kean-Vlasov et leur contrôle optimal.

  • Titre traduit

    Stochastic differential equations of Mc Kean Vlasov type and their optimal control


  • Résumé

    The Mc Kean-Vlasov equations appeared for the first time in a paper by Mc Kean on the probabilistic interpretation of the Vlasov cinetic equations, which are non linear PDEs, after a suggestion by Marc Kac. The solutions of this type of stochastic equations are called non linear diffusions. These are stochastic differential equations with a drift and a diffusion coefficient depending not only on the unknown state process but also on its distribution. A great interest has grown these last years for this type of equations after the pionneering work by P.L. Lions and J.M. Lasry in 2006-2007 on the mean-field game theory. These are games with a large number of players. If we suppose that the game is symetric, that is the players have the same influence on the overall game, then one can prove that passing to the limit the game will be equivalent to a game where the players are independent satisfy the same equation called Mean-field equation. The mean-field game theory is usefull to prove th existence of approximate Nash equilibrium. The goal of this thesis is to study certain properties of the Mc Kean-Vlasov equations and their optimal control.