Méthodes de calcul pour prévoir le comportement de systèmes dynamiques aléatoires.

par Luigi Marangio

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Christophe Guyeux et de Stefano Galatolo.

Thèses en préparation à Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec l'Université de Pise , dans le cadre de SPIM - Sciences Physiques pour l'Ingénieur et Microtechniques , en partenariat avec FEMTO-ST Franche Comté Electronique Mécanique Thermique et Optique - Sciences et Technologies (laboratoire) et de DISC - Département Informatique et Systèmes Complexes (equipe de recherche) depuis le 30-08-2017 .


  • Résumé

    De nombreux phénomènes naturels et sociaux sont bien modélisés par des systèmes aléatoires ou chaotiques. Il est bien connu que la présence du désordre et du chaos rend le comportement du système difficile à prévoir. Le projet de thèse concerne le développement de méthodes informatiques fiables pour la compréhension et la prévision des propriétés statistiques des systèmes dynamiques aléatoires et chaotiques. Ces techniques ont un fort intérêt appliqué qui rend la nature de ce projet en soi interdisciplinaire ; de plus la thèse se déroule dans le cadre d'un accord de co-tutelle entre le département DISC, FEMTO-ST, UBFC. et le département de mathématiques de l'Université de Pise. Des techniques permettant l'étude rigoureuse de systèmes dynamiques à noise additif avec une preuve assistée par ordinateur, ont été récemment développées[1]. Ces approches ont conduit à des preuves rigoureuses de l'existence de phénomènes, observés dans la nature et plutôt étudiés dans la littérature appliquée, mais qui sont difficiles à étudier de manière analytique. L'un d'eux, par exemple, est le phénomène appelé Noise Induce Order ; les modèles dans lesquels ce phénomène a été découvert sont des systèmes dynamiques stochastiques (avec bruit additif) avec temps discret sur l'intervalle. Le phénomène est en quelque sorte contre-intuitif, en fait ce qui se passe est qu'à l'augmentation du bruit l'exposant Lyapunov du système passe du positif au négatif, stabilisant son comportement. En raison de la complexité de la partie déterministe du système, il n'existait aucune preuve rigoureuse de l'existence de ce phénomène auparavant. La présence de bruit dans le modèle simplifie cependant les propriétés fonctionnelles-analytiques du système (l'opérateur de transfert devient régularisateur) et cela permet une approche assistée par ordinateur. En fait, il est possible d'approximer l'opérateur de transfert avec un opérateur de dimension finie et de laisser l'ordinateur étudier les propriétés asymptotiques et spectrales de l'opérateur fini, qui correspondent aux propriétés statistiques de la dynamique associée. De cette façon, nous pouvons avoir une approximation avec une petite erreur certifiée sur la mesure stationnaire et sur la vitesse de mélange du système. Il existe différents phénomènes quelque peu similaires à celui découvert dans[3], pour l'étude desquels la même stratégie générale peut réussir : verrouillage de phase associé aux modèles climatiques[5], synchronisation et bifurcation dans les systèmes stochastiques[4],[7], modèle aléatoire de la mémoire associative[6]. Un autre sujet connexe possible est la réponse linéaire de ce type de systèmes (les propriétés statistiques du système changent de façon différentiable) ; pour les systèmes avec bruit additif, certains résultats ont déjà été obtenus[2]. De plus, nous pouvons utiliser une preuve assistée par ordinateur pour prouver qu'un certain système non trivial se mélange, permettant par exemple d'appliquer des théorèmes de réponse linéaire à des exemples non triviaux tels que les mappes utilisées dans les[3]. Aujourd'hui, les stratégies d'approximation de l'opérateur de transfert sont principalement basées sur des schémas de type Ulam, qui sont faciles à mettre en œuvre et qui ne conviennent pas vraiment à des applications multidimensionnelles, en raison de leur coût informatique. Notre idée principale est de mettre en œuvre une technique basée sur Fourier qui pourrait permettre d'étendre toutes les méthodes qui fonctionnent déjà dans une dimension, à une dimension supérieure à condition que le système soit un peu plus lisse. [1] Stefano Galatolo, Maurizio Monge, Isaia Nisoli. Existence of Noise Induced Order, a Computer Aided Proof, arXiv:1702.07024. [2] Stefano Galatolo, Paolo Giulietti Linear response, dynamical systems with additive noise and the control of their statistical properties, to appare on Nonlinearity, arXiv:1711.04319. [3] Matsumoto K., Tsuda I. Noise-induced Order J. Stat. Phys Vol. 31, No. 1, pp. 87-106 (1983). [4] Franco Flandoli, Benjamin Gess, Michael Scheutzow, Synchronization by noise, to appear on PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS (2016), arXiv:1411.1340. [5] Ghil, Michael, Mickaël D. Chekroun, and Eric Simonnet.. Climate dynamics and fluid mechanics: Natural variability and related uncertainties. Physica D: Nonlinear Phenomena 237 (14–17): 2111 – 2126. (2008). [6] R. Bioni Liberalquino, M. Monge, S. Galatolo, L. Marangio, Chaotic itinerancy in random dynamical system related to associative memory models., Mathematics 6, no. 3: 39., 2018. [7] H. Crauel, F. Flandoli, Additive noise destroys a pitchfork bifurcation, J. Dynam. Differ. Eq. 10 (1998), 259–274.

  • Titre traduit

    Computational methods for forecasting the behavior of random dynamical systems.


  • Résumé

    Many natural and social phenomena are well modeled by random or chaotic systems. It is well known that the presence of randomness and chaos makes the behavior of the system hard to be predicted. The thesis project relates to the development of reliable computational methods for the understanding and forecasting of the statistical properties of random and chaotic dynamical systems. These techniques have a strong applied interest which makes the nature of this project in itself interdisciplinary; moreover the thesis takes place within the framework of a cotutorship agreement between the department DISC, FEMTO-ST, UBFC and the department of Mathematics of the University of Pisa. Techniques which allow the rigorous study of dynamical systems with additive noise with a computer-assisted proof, have been recently developed [1]. These approaches have led to rigorous proofs of the existence of phenomena, observed in nature and rather studied in applied literature, but which are hard to study analytically. One of these, for instance, is the so-called Noise Induce Order phenomenon; the models in which this phenomenon has been discovered are stochastic dynamical systems (with additive noise) with discrete time on the interval. The phenomenon is somehow counter-intuitive, in fact what happens is that at the increase of the noise the Lyapunov exponent of the system passes from positive to negative, stabilizing its behavior. Due to the complexity of the deterministic part of the system, there were no rigorous proofs of the existence of this phenomenon before. The presence of noise in the model however simplifies the functional-analytical properties of the system (the transfer operator becomes regularizing) and this allows a computer-assisted approach. In fact, it is possible to approximate the transfer operator with a finite-dimensional operator and let the computer study the asymptotic and spectral properties of the finite one, which will correspond to the statistical properties of the associated dynamics. In this way we may have an approximation with a small certified error on the stationary measure and on the mixing speed of the system. There are various phenomena somehow similar to the one discovered in [3], for the study of which the same general strategy can be successful: phase-locking associated to climate models [5], synchronization and bifurcation in stochastic systems [4],[7], random model of associative memory [6]. Another possible related topic is the Linear response of this type of systems (the statistical properties of the system change in a differentiable way); for system with additive noise some results have already been obtained [2]. Moreover we can use a computer aided proof to prove that a certain non-trivial system is mixing, allowing for example to apply linear response theorems to non-trivial examples such as the maps used in [3]. By now, the approximation's strategies of the transfer operator are mostly based on Ulam-like schemes, which are easy to implement thought not really suitable for multidimensional applications, due to their computational cost. Our main idea is to implement a Fourier based technique which might allow to extend all the methods already working in one dimension, to higher dimension provided some degree of smoothness of the system. [1] Stefano Galatolo, Maurizio Monge, Isaia Nisoli. Existence of Noise Induced Order, a Computer Aided Proof, arXiv:1702.07024. [2] Stefano Galatolo, Paolo Giulietti Linear response, dynamical systems with additive noise and the control of their statistical properties, to appare on Nonlinearity, arXiv:1711.04319. [3] Matsumoto K., Tsuda I. Noise-induced Order J. Stat. Phys Vol. 31, No. 1, pp. 87-106 (1983). [4] Franco Flandoli, Benjamin Gess, Michael Scheutzow, Synchronization by noise, to appear on PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS (2016), arXiv:1411.1340. [5] Ghil, Michael, Mickaël D. Chekroun, and Eric Simonnet.. Climate dynamics and fluid mechanics: Natural variability and related uncertainties. Physica D: Nonlinear Phenomena 237 (14–17): 2111 – 2126. (2008). [6] R. Bioni Liberalquino, M. Monge, S. Galatolo, L. Marangio, Chaotic itinerancy in random dynamical system related to associative memory models., Mathematics 6, no. 3: 39., 2018. [7] H. Crauel, F. Flandoli, Additive noise destroys a pitchfork bifurcation, J. Dynam. Differ. Eq. 10 (1998), 259–274.