Théorie de structure et invariants de catégories de fusion

par Ajinkya Kulkarni

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Peter Schauenburg.

Thèses en préparation à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Bourgogne (laboratoire) depuis le 01-10-2017 .


  • Résumé

    Une catégorie de fusion est une catégorie tensorielle semisimple, en particulier munie d'une structure de produit tensoriel abstrait. Un exemple très particulier est la catégorie des représentations complexes d'un groupe fini ; la théorie de telles catégories généralise donc, en plusieurs sens, la théorie des groupes finis. Les catégories de fusion paraissent de façon naturelle en divers contextes des mathématiques pures et de la mathématique physique (Invariants de nœuds et variétés, algèbres d'opérateurs, théorie conforme des champs, théorie des groupes quantiques et algèbres de Hopf...). Un programme de classification de catégories de fusion de petite taille, et plus généralement un effort de comprendre la structure de tels catégories et des techniques pour en construire des exemples est un sujet très actif de recherche poursuivi par nombre de chercheurs. Comme dans tout problème de classification, il y a un grand intérêt pour des invariants numériques des objets en question, et ceci pour deux motivations : des invariants peuvent aider dans la classification en distinguant des objets, et leur étude détaillée aide à comprendre la structure des objets. Le projet de thèse concerne plus particulièrement les indicateurs de Frobenius-Schur qui donnent une famille d'invariants numériques d'une catégorie de fusion qui s'est montré très utile pour l'étude théorique de la structure de catégories (notamment modulaires) et qui, dans certains cas, peut être calculée explicitement, en laissant pourtant beaucoup de problèmes ouvertes concernant le calcul, l'interprétation conceptuelle, et le comportement des valeurs. Le but de la thèse est de contribuer à la compréhension théorique et au calcul explicite de ces invariants pour des exemples qui sont construits explicitement à partir de données sur des groupes finis (leurs représentations et cohomologie). Ceci concerne les catégories dites groupe-théoriques, où des techniques de calcul sont déjà disponibles, mais des questions sur le rôle théorique et le comportement des invariants ainsi que pour leur calcul plus efficace restent ouvertes, mais surtout des catégories de structure plus compliquée (équivariantisations, extensions de catégories par un groupe) où des techniques pour systématiquement calculer des indicateurs restent à développer. La recherche s'effectuera sur le plan théorique, en développant des « formules » pour le calcul dans des situations specifiques, ainsi qu'en utilisant des outils de calcul formel. Il s'agit donc de développer la théorie, mais aussi d'implémenter les techniques théoriques de calcul de façon très explicite dans un logiciel qui permet de traiter des exemples qui sont bien au-delà de la portée de calculs « à la main », ce qui inclut rendre les exemples eux-mêmes suffisamment explicites pour être accessible au logiciel.

  • Titre traduit

    Structure theory and invariants of fusion categories


  • Résumé

    A fusion category is a semisimple tensor category, in particular with an abstract tensor product structure. A very particular example is the category of complex representations of a finite group; the theory of such categories thus generalizes, in several senses, the theory of finite groups. Fusion categories appear naturally in various contexts of pure mathematics and mathematical physics (invariants of knots and varieties, operator algebras, conformal field theory, quantum groups and Hopf algebras). A program of classification of small fusion categories, and more generally an effort to understand the structure of such categories and techniques for constructing examples is a very active subject of research pursued by many researchers. As in any classification problem, there is a great interest for numerical invariants of the objects in question, for two motivations: invariants can help in the classification by distinguishing objects, and their detailed study helps to understand the structure of objects. The thesis project focuses on the Frobenius-Schur indicators which give a family of numerical invariants of a fusion category that has proved very useful for the theoretical study of the structure of categories (in particular modular ones) and that , in some cases, can be calculated explicitly, leaving many open-ended problems concerning computation, conceptual interpretation, and behavior of values. The aim of the thesis is to contribute to the theoretical understanding and the explicit calculation of these invariants for examples that are constructed explicitly from data on finite groups (their representations and cohomology). This concerns the so-called group-theoretical categories, where computational techniques are already available, but questions about the theoretical role and behavior of invariants and their more efficient calculation remain open, but above all categories with more complicated structure (equivariantizations , extensions of categories by a group) where techniques to systematically compute indicators remain to be developed. The research will be carried out at the theoretical level, by developing "formulas" for calculation in specific situations, and by using formal calculation tools. It is therefore a question of developing the theory, but also of implementing the theoretical techniques of calculation in a very explicit way in a software which makes it possible to treat examples that are well beyond the scope of calculations "by hand" which includes making the examples themselves explicit enough to be accessible to the software.