C0-semigroupes gamma-bornés et opérateurs à puissances gamma-bornées : caractérisations et calculs fonctionnels.

par Loris Arnold

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Christian Le Merdy.

Thèses en préparation à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (laboratoire) .


  • Résumé

    Dans un premier temps, on montre l'existence d'opérateurs sectoriels $A$ bornés de type $0$ (respectivement d'opérateurs de Ritt $T$) tels que l'ensemble ${e^{-tA}: tgeq 0}$ n'est pas $gamma$-borné (respectivement l'ensemble ${T^n: nin N}$ n'est pas $gamma$-borné). Dans le second chapitre nous étudions les $C_0$-semigroupes $gamma$-bornés sur un espace de Banach. Nous généralisons le Théorème de Gomilko Shi-Feng aux espaces de Banach ce qui nous donne une caractérisation des $C_0$-semigroupes $gamma$-bornés. De plus nous étudions le calcul dérivé introduit par Batty Haase et Mubeen dans ce contexte. Le chapitre suivant est consacré à l'étude des opérateurs qui satisfont une condition appelée dans le mémoire condition de Gomilko Shi-Feng. Nous montrons que cette condition est équivalente à différents calculs fonctionnels bornés. Nous étudions aussi les opérateurs à puissances $gamma$-bornées que nous caractérisons par un résultat similaire au cas des $C_0$-semigroupes $gamma$-bornés. Dans le dernier chapitre on s'intéresse au $C_0$-semigroupes sur un espace de Hilbert. Notre but est de construire un calcul fonctionnel borné sur une nouvelle algèbre $A(C_+)$ inspirée des algèbres de Figa-Talamanca-Herz. Nous verrons que ce calcul fonctionnel améliore les résultats qui existent déjà sur le sujet. Nous obtenons aussi des résultats sur l'espace des multiplicateurs de Fourier bornés sur l'espace de Hardy $H^1(R)$ qui sont utiles pour l'étude de l'algèbre $A(C_+)$.

  • Titre traduit

    gamma-bounded C_0-semigroups and power gamma-bounded operators : characterizations and functional calculi


  • Résumé

    First and foremost we show that there exist bounded sectorial operators $A$ of type $0$ (respectively Ritt operators $T$ )such that the set ${e^{-tA}: tgeq 0}$ is not $gamma$-bounded (respectively the set ${T^n : n in N }$ is not $gamma$-bounded). In the second chapter, we study $gamma$-bounded $C_0$-semigroups on Banach spaces. We will able to generalize Gomilko Shi-Feng Theorem in Banach settings. This generalization gives us a characterization of $gamma$-bounded $C_0$-semigroups. Further, in this context, we study the derivative bounded functional calculus introduced by Batty Haase and Mubeen. The next chapter is dedicated to operators which satisfy a condition called discrete Gomilko Shi-Feng condition. We show that this condition is equivalent to various bounded functional calculi. We also study power $gamma$-bounded operators and we characterize them in a similar way as for $gamma$-bounded $C_0$-semigroups. In the final chapter, we focus on $C_0$-semigroups on Hilbert space. Our goal is to construct a bounded functional calculus on a new algebra $A{C_+}$ inspired by Figa-Talamanca-Herz algebras. We show that this bounded functional calculus improves existing results. We also get results about bounded Fourier multipliers on the Hardy space $H^1(R)$ which are useful for the study of $A(C_+)$.