Processus fractionnaires et applications en finance

par Elizabeth ZúñIga RiofríO

Projet de thèse en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Etienne Chevalier et de Sergio Pulido.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LaMME - Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Evry (laboratoire) , Probabilités et Mathématiques Financières (equipe de recherche) et de université d'Evry-Val-d'Essonne (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2017 .


  • Résumé

    Avec le développement des échanges a haute fréquence, une part croissante de la littérature empirique souligne que la volatilité des marches varie plus rapidement qu'un mouvement brownien, ce qui n'est pas reflété par les modèles traditionnels en finance à savoir des modèles issus de semi-martingales. Des modèles de volatilité issus de processus fractionnaires ou de Volterra ont été proposés comme alternative. Dans cette thèse, nous proposons d'étudier des nouvelles classes de modèles fractionnaires ou de Volterra appliqués à la modélisation de marchés fi nanciers. En s'appuyant sur des avancées récentes et inspirés par la théorie des processus affines et polynomiaux, nous développerons des méthodes numériques, liées au calcul de la fonction caractéristique et des moments, appliqués à la résolution des problèmes de valorisation dans des modèles fractionnaires ou de Volterra affines et polynomiaux. La difficulté, conséquence de la non-markovianité et de la rugosité des trajectoires des processus fractionnaires et de Volterra, réside dans la présence d'explosions et de dépendance au passé. Pour cela il sera également nécessaire d'étudier certains aspects théoriques de ces processus. Finalement, nos résultats devraient nous donner une base pour formuler et résoudre numériquement des problèmes de contrôle optimal, tels que des problèmes d'exécution ou de gestion, dans le cadre de modèles fractionnaires ou de Volterra.

  • Titre traduit

    Fractional processes and applications to fi nance


  • Résumé

    With the development of high frequency markets a growing body of empirical research indicates that volatility fluctuates more rapidly than Brownian motion, which is inconsistent with standard semimartingale models. Fractional and Volterra volatility models have emerged as compelling alternatives. The aim of this doctoral thesis is to study new classes of fractional and Volterra models of fi nancial markets. Motivated by the recent fi ndings and inspired by the theory of affine and polynomial processes, we will develop numerical methods, based on the calculation of the characteristic function and moments, to solve pricing problems within affine and polynomial fractional or Volterra models. The difficulty, which is a consequence of the non-Markovianity and rough-paths nature of the fractional and Volterra processes, is due to the appearance of explosions and the dependence on the past. To this end, it will also be necessary to study theoretical aspects of these processes. Finally, our results should serve as a basis to formulate and solve numerically optimal control problems, such as optimal execution or portfolio management, within the framework of fractional or Volterra models.