Analyse de l'équation de Kuznetsov et d'autres modèles d'acoustique non linéaires.

par Adrien Dekkers

Projet de thèse en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Frédéric Abergel et de Anna Rozanova-pierrat.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec FDM - Fédération de Mathématiques - FR CNRS 3487 (laboratoire) , Equations aux dérivées partielles et analyses numériques (equipe de recherche) et de CentraleSupélec (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2015 .


  • Résumé

    Le premier sujet de recherche a été le problème de Cauchy pour l'équation de Kuznetsov et son caractère bien posé dans les cas visqueux et non visqueux avec l'utilisation d'estimations d'énergie. Par la suite ont été étudiés des propriétés mathématiques des modèles d'acoustiques non-linéaires, comme les équations de Kuznetsov/Westervelt/KZK/NPE, du point de vue de l'approximation d'un système de Navier-Stokes isentropique. A savoir l'existence et unicité des solutions et pour quel temps et normes la solution du modèle choisi approxime la solution de Navier Stokes exact ou d'un autre modèle. Enfin en se plaçant sur des domaines bornés à bord fractal le caractère bien posé de l'équation de Westervelt a pu être montré sous différentes conditions de bord après étude de modèles linéaires.

  • Titre traduit

    Analysis of the Kuznetsov equation and other models of non linear acoustic.


  • Résumé

    The first research subject has been the Cauchy problem for the Kuznetsov equation and its properties of well posedness in viscous and inviscid cases with the use of energy estimates. In the sequel the mathematical properties of nonlinear acoustical models have been studied, such as the equations of Kuznetsov/Westervelt/KZK/NPE, with the point of view of an approximation of an isentropic Navier Stokes system. Once the model is fixed, the following points need to be addressed: existence and unicity of the solution, for which time and norm the solution of the chosen model approximates the solution of the exact Navier Stokes system or of an other model Finally on bounded domains with a fractal boundary the well-posedness of the Westervelt equation has been shown under different boundary conditions after the study of linear models.