Processus stochastiques généralisés

par Brice Hannebicque

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Erick Herbin.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et informatique pour la complexité et les systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne) (laboratoire) , Probabilités (equipe de recherche) et de CentraleSupélec (2015-....) (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-11-2017 .


  • Résumé

    Un cadre général a été construit par Ivanoff et Merzbach pour étudier les martingales indicés par des ensembles. Dans ce cadre théorique, Herbin et Merzbach ont construit et étudié une extension du mouvement brownien fractionnaire pour des indices qui sont des sous-ensembles compacts d'un espace métrique mesurable $mathcal{T}$. La propriété de stationnarité (de type mesure) des accroissements mise en évidence a permis l'étude complète des processus de Lévy indicés par des ensembles, initiée précédemment par Adler et Feigin d'une part et Bass et Pyke d'autre part dans le cas particulier des sous-ensembles de $R^N$. Plusieurs caractérisations de ces processus de Lévy ont été prouvées, parmi lesquelles le fait que les accroissements peuvent être considérés comme une mesure aléatoire, dans le sens de Prekopa et Rajput et Rosinski, mesure qui est stationnaire. Une idée naturelle consiste alors en l'étude d'une intégrale par rapport à ces mesures aléatoires (ou ces processus de Lévy) et ainsi définir des processus stochastiques indexés par des fonctions, de même que le processus isonormal est construit à partir du bruit blanc dans l'intégrale de Wiener. Bien évidemment, d'autres procédés peuvent être utilisés pour définir des processus indicés par des fonctions, appelés ici processus généralisés. Néanmoins, ils peuvent être considérés comme des extensions des processus indicés par des ensembles. Comme pour les champs aléatoires, la richesse du cadre des processus généralisés devrait faire apparaître des comportements très divers en terme de régularité locale. En effet, même le mouvement brownien indicé par des ensembles (ou bruit blanc) peut avoir un comportement étonnant en terme de régularité : lorsque la collection d'indices est trop grande (ce qui est le cas lorsque les indices sont les triangles de $(R_+)^2$), les trajectoires du mouvement brownien sont presque sûrement discontinues. Il vérifie cependant une propriété de continuité ponctuelle, plus faible que la continuité classique. L'étude de la régularité de processus généralisés pourrait éclairer cette question. Le but de cette thèse est d'étudier en quoi les mesures de la régularité locale de processus généralisés peuvent être déduites des objets qui les définissent : les fonctions indices, les mesures aléatoires, les processus tangents ou les modèles discrets, etc.

  • Titre traduit

    Generalized Stochastic Processes


  • Résumé

    A general framework was established by Ivanoff and Merzbach to study set-indexed martingales. In this theoretical framework, Herbin and Merzbach have developed and studied an extension of the fractional Brownian motion for indices which are compact subsets of a measurable metric space $mathcal{T}$. The stationarity property (of measure type) of the increments, that was not considered so far, has allowed the complete study of set-indexed Lévy processes, previously initiated by Adler and Feigin on the one hand, and by Bass and Pyke on the other hand in the special case of subsets of $R^N$. Several characterizations of these Lévy processes were proved, among them the fact that the increments can be considered as an independently scattered random measure, in the sense of Prekopa and Rajput and Rosinski. This measure is stationary. A natural idea is then to study an integral with respect to these random measures (or these Lévy processes) and, then, to be able to define set-indexed stochastic processes, in the same way as the isonormal process is built starting from the white noise in the Wiener integral. Of course, other methods can be used to define processes that are indexed by functions, named here generalized processes. Nevertheless, they can be considered as extensions of set-indexed processes. As in the case of random fields, the wealth of the framework of generalized processes should make various behaviors appear, in terms of local regularity. Indeed, even the set-indexed Brownian motion (aka white noise) can display a surprising behavior in terms of regularity : if the collection of indices is too large (this is the case if the indices are the triangle of $(R_+)^2$, the sample path of the Brownian motion is almost surely discontinuous. However, it satisfies a property of pointwise continuity, which is weaker than the classical notion of continuity. The study of the regularity of generalized processes may help solve this question. The goal of this PhD thesis is to study how the measures of local regularity of generalized processes can be deduced from the objects that define them : functions as indices, stochastic measures, tangent processes or discrete models, and so on.