Existence et propriétés statistiques de mesures SRB pour les systèmes partiellement hyperboliques

par Yuntao Zang

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Jérôme Buzzi.

Thèses en préparation à Paris Saclay en cotutelle avec l'Université de Suzhou , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Topologie et Dynamique (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    La dynamique est une discipline mathématique majeure étroitement liée à la plupart des principaux domaines de mathématiques, principalement en se concentrant sur le comportement, car le temps passe à l'infini pour la majorité des orbites. La théorie ergodique des systèmes dynamiques différentiables, en tant que l'une des branches principales, est celle sur laquelle nous nous concentrons. Plus précisément, il existe deux directions principales: l'existence et la finitude des mesures invariables continues absolues, et les diverses propriétés de l'entropie métrique. En ce qui concerne la continuité absolue des mesures invariantes, nous étudierons l'existence et la finitude des mesures de Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) sur des systèmes partiellement hyperboliques avec une expansion non uniforme en construisant l'état u de Gibbs ou en analysant les propriétés de Markov. Les mesures de SRB, ou les mesures invariables continues absolus sont profondément liées à de nombreux autres concepts, tels que les exposants de Lyapunov, la pression topologique, la formule d'entropie de Pesin, etc. Sur ce sujet, nous mettrons également beaucoup d'efforts pour caractériser ces relations entre eux. Au sujet de l'entropie, nous nous concentrons principalement sur la continuité de l'entropie topologique et de l'entropie théorique-mesure. Nous allons étudier la semi-continuité supérieure et ses conséquences pour les systèmes à fractionnement dominé et une certaine hyperbolicité. Alors que nous continuons ce fil, nous pouvons également considérer la continuité de l'entropie des difféomorphismes génériques avec ou sans division partielle.

  • Titre traduit

    The existence of SRB measure for partially hyperbolic systems and its statistical properties


  • Résumé

    Dynamics is a major mathematical discipline closely intertwined with most of the main areas of mathematics, mainly concentrating on the behavior as time goes to infinity for the majority of orbits. The ergodic theory of differentiable dynamical systems, as one of the principal branches, is what we focus on. More specifically, there are two major directions: the existence and finiteness of absolute continuous invariant measures, and the various properties of the metric entropy. About the absolute continuity of invariant measures, we will investigate the existence and finiteness of Sinai-Ruelle-Bowen(SRB) measures on partially hyperbolic systems with some non-uniform expansion by constructing Gibbs u-state or by analyzing the Markov properties. The SRB measures, or the absolute continuous invariant measures are deeply connected with many other concepts, such as Lyapunov exponents, topological pressure, Pesin entropy formula, etc. So on this topic we will also put a lot effort on characterizing these relations between them. About the entropy, we mainly concentrate on the continuity of the topological entropy and measure-theoretical entropy. We will investigate the upper semi-continuity and its consequeces for systems with dominated splitting and some hyperbolicity. While we are continuing this thread, we may also consider the continuity of the entropy of generic diffeomorphisms with or without a dominated splitting.