Sur la théorie de l’homotopie des 3-catégories strictes

On the homotopy theory of strict 3-theory

• Auteur / Autrice : Andrea Gagna
• Direction : Yves Lafont, Dimitri Ara
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/10/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M) (Marseille, Luminy) (2014-....)
• Jury : Président / Présidente : Carlos Simpson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dimitri Ara, Richard Steiner, François Métayer, Georges Maltsiniotis, Muriel Livernet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clemens Berger, Steve Lack

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Systèmes de Steiner

Groupes d'homotopie

Mots clés libres

Theorie de l'homotopie

Catégories supérieures

Homotopy theory

Higher categories

Résumé

Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un projet visant à comprendre la théorie de l’homotopie des n-catégories strictes et en particulier des 3-catégories. Plus précisément, on veut montrer que celle-ci est équivalente à la théorie de l’homotopie des types d’homotopies habituels.Dans la premier partie de ce travail, on généralise une stratégie de Fritsch et Latch qui nous emmène à montrer que le nerf de Street induit une équivalence en homotopie entre les n-catégories et les types d’homotopie, pour 1 \leq n \leq \infty. Pour ce faire on dégage des conditions pour construire des inverses homotopiques du nerf de Street et de ces versions tronquées et permettent aussi de montrer que les complexes dirigés augmentés de Steiner modélisent les types d’homotopie.Dans la deuxième partie de cette thèse, on introduit la notion de 3-foncteur oplax normalisé entre 3-catégories, qui est une version algébrique de morphisme d’ensembles simpliciaux entre les nerfs de 3-catégories strictes. Pour monter que deux tels 3-foncteurs oplax normalisés se composent, on établit une correspondance avec les morphismes d’ensembles simpliciaux entre les nerfs. On donne aussi une description explicite de la réalisation \infty-catégorique du nerf d’une petite catégorie sans sections et rétractions, les exemples le plus importants étant les ensembles ordonnés et la subdivision d’une petite catégorie.Dans la dernière partie de ce travail, on fournit une description explicite de certaines sommes amalgamées de 3-catégories et on explique nos efforts pour utiliser les 3-foncteurs oplax normalisés pour étendre les résultats et les constructions 2-catégoriques dues à Ara et Maltsiniotis.

This thesis is part of a project focused on understanding the homotopy theory of strict n-categories and in particular of 3-categories. More precisely we want to show that this one is equivalent to the homotopy theory of the usual homotopy types.In the first part of this work we generalise a strategy of Fritsch and Latch that leads us to show that the Street nerve induces an equivalence in homotopy between n-categories and the homotopy types, for 1 \leq n \leq \infty. In order to do this we give conditions for constructing homotopy inverses of the Street nerve and of the truncated versions and allows to prove that Steiner's augmented directed complexes model homotopy types too.In the second part of this thesis we introduce the notion of normalised oplax 3-functor between 3-categories, which is an algebraic version of morphism of simplicial sets between nerves of 3-categories. In order to show that normalised oplax 3-functors compose, we establish a correspondence with morphisms of simplicial sets between nerves. We also give an explicit description of the \infty-categorical realisation of the nerve of a small category without sections or retractions, the most important examples being the posets and the subdivision of a small category.In the last part of this work we present a description of certain pushouts of 3-categories and we explain our try for using normalised oplax 3-functors to extend the 2-categorical results and constructions due to Ara and Maltsiniotis.