Feuilletage isopériodique de l'espace de modules des surfaces de translation

par Florent Ygouf

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Erwan Lanneau.

Thèses en préparation à Grenoble Alpes , dans le cadre de Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique , en partenariat avec Institut Fourier (laboratoire) depuis le 26-09-2016 .


  • Résumé

    La dynamique et la géométrie dans les espaces de modules sont deux sujets nés il y a une trentaine d'années avec les travaux de Thurston. Depuis quinze ans, ce domaine a connu un développement considérable avec, plus récemment, un théorème de rigidité pour l'action du groupe de Lie SL(2, R) sur l'espace de modules des différentielles abéliennes, dû à Eskin, Mirzakhani et Mohammadi. Leur résultat est un outil fascinant et très puissant pour l'étude de la dynamique de sous-groupes de SL(2, R). Un aspect important de cette approche est le feuilletage du noyau (aussi appelé feuilletage isopériodique) qui consiste à faire varier les périodes relatives d'une forme holomorphe tout en gardant fixe les périodes absolues. Étonnament, jusqu'à tout récemment, on ne connaissait presque rien sur la géométrie ou la dynamique de ce feuilletage. Plusieurs travaux récents indépendants jetent les bases de cette étude : McMullen [McMu], Calsamiglia– Deroin–Francaviglia [CDF], Hamenstädt [H], Hooper–Weiss [HW]. Un des objectifs de la thèse sera de comprendre et de décrire la dynamique et la géométrie du feuilletage du noyaux sur les strates des différentielles quadratiques (lorsque l'on prescrit les zéros des formes holomorphes). Les techniques des auteurs ci-dessus ne se généralisent pas du tout à ce cadre. L'approche envisagée est l'utilisation des homéomorphismes de type pseudo-Anosov (qui apparaissent déjà dans les travaux de Hooper–Weiss [HW]). Ceux ayant un SAF (invariant de Sah-Arnoux-Fathi) nuls y jouent un rôle tout particulier [LN]. La stratégie proposées est en trois temps : (1) Établir un critère de periodicité pour une déformation d'un pseudo-Anosov dans une feuille du noyau. L'induction de Rauzy–Veech semble être une approche prometteuse. (2) Construire pour toute strate, des homéomorphismes de type pseudo-Anosov ayant un SAF nul et vérifiant ce critère (analogue de l'exemple de Arnoux– Yoccoz). (3) Appliquer un argument de type Hopf afin d'obtenir l'ergodicité. Au passage cette étude devrait donner des informations intéressantes sur la famille des nombres algébriques bi-Perron obtenus comme facteurs d'expansions d'homéomorphismes pseudo-Anosov.

  • Titre traduit

    isoperiod foliation on moduli space of translation surfaces


  • Résumé

    The aim of this thesis is to show the ergodicity of the isoperiodic foliation on the moduli space of translation surfaces (or to find counter exemples of this ergodicity)