Géométrie kählérienne de stabilité de Bridgeland

par Gourab Bhattacharya

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Maxim Konsevitch.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LAG - Laboratoire Alexander Grothendieck (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2017 .


  • Résumé

    Un des principaux thèmes récurrentes de la géométrie kählérienne est une équivalence entre la poly-stabilité au sens de Mumford et l'existence d'une sorte de métrique harmonique. E.g., le fameux théorème de Uhlenbeck-Donaldson- Yau démontre qu'un fibré vectoriel holomorphe sur une variété kählérienne est poly-stable si et seulement si il admet une métrique hermitienne satisfaisant une équation de Yang-Mills hermitienne. A. King a montré un résultat similaire pour les carquois. E.g., une représen- tation de dimension finie d'une algèbre avec les générateurs T_1,...,T_n est semi-simple (= poly-stable) si et seulement si elle admet une norme hermitienne telle que sum_i [T_i^† , T_i] = 0. Dans un manuscrit non publié, G. Bhattacharya propose une nouvelle généra- lisation de l'équation de Hitchin qui caractérise la stabilité des faisceaux cohérents avec un support en codimension 1 dans l'espace total d'un faisceau canonique. Cela peut être interprété comme une combinaison des équations de Yang-Mills hermitiennes et des équations de King. Récemment, M. Kontsevich a proposé un programme relayant la géométrie kählérienne (au sens complexe comme au sens non-archmédien) à la stabilité de Bridgeland dans les catégories triangulées (une généralisation de la stabilité de Mumford). Cela apporte beaucoup de questions ouvertes concrètes ainsi que des défis conceptuels. Gourab Bhattacharya propose, pour le sujet de sa thèse, de travailler sur ce programme.

  • Titre traduit

    Kähler geometry of Bridgeland stability


  • Résumé

    One of main recurrent themes in Kähler geometry is an equivalence between polystability in sense of Mumford and the existence of a kind of harmonic metric. E.g., the famous Uhlenbeck-Donaldson-Yau theorem says that a holomorpic vector bundle on Kähler manifold is polystable iff it admits a hermitean metric satisfying hermitean Yang-Mills equation. A. King proved a simlilar result for quivers. E.g., a finite-dimensional repre- sentation of an algebra with generators T_1,...,T_n is semi-simple (= polystable) iff it admits a hermitean norm such that sum_i [T_i^† , T_i] = 0. In an unpublished manuscript G.Bhattacharya proposed a new generalization of Hitchin equation which characterizes stability of coherent sheaves with support in codimension 1 in the total space of canonical bundle. This can be seen as a combination of hermitean Yang-Mills and King's equations. Recently M.Kontsevich proposed a program relating Kähler geometry (both in complex and non-archimedean sense) and Bridgeland stability in triangulated categories (a generalization of Mumford stability). There are many concrete open questions, as well as conceptual challenges. The proposed goal for the thesis by Gourab Bhattacharya is to work on this program.