Equations aux dérivées partielles, partiellement dissipatives et application à la mécanique des fluides.

par Timothée Crin-Barat

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Raphaël Danchin.

Thèses en préparation à Paris Est , dans le cadre de MSTIC : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de Équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) depuis le 01-10-2017 .


  • Résumé

    L'étude des systèmes hyperboliques symétriques quasilinéaires remonte aux années 60 avec les travaux de S. Godunov et P. Lax. Elle est motivée par celle des systèmes de lois de conservation qui apparaissent dans de nombreux modèles liés à la mécanique des fluides. Dans le cas multi-dimensionnel, si l'existence de solutions régulières locales en temps est bien comprise, on ne dispose en général pas de solutions régulières globales, même pour des données initiales petites. Dans de nombreuses situations physiquement pertinentes (e.g. équations d'Euler com- pressible avec terme de friction, ou équations de Navier-Stoke compressible), ces systèmes comportent en plus un terme d'amortissement ou de dissipation agissant uniquement sur certaines composantes de la solution. Cet effet, bien qu'indirect, est parfois suffisant pour assurer l'existence globale pour des données initiales régulières suffisamment petites. Dans sa thèse datant des années 80, S. Kawashima a découvert un critère systématique assurant l'existence de solutions globales pour de tels systèmes. Ce critère a été récemment revisté par K. Beauchard et E. Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d'observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l'existence globale dans des situations qui n'étaient pas couvertes par S. Kawashima. La force de l'approche de Beauchard-Zuazua est qu'elle permet de déterminer si le linéarisé du système étudié est stable sans avoir à calculer explicitement les valeurs proprees associées : en s'inspirant de méthodes de contrôlabilité, on parvient à exhiber une fonctionnelle de Lyapunov adéquate. Si le travail de Beauchard et Zuazua est dédié au cas de systèmes hyperboliques du premier ordre avec un terme partiellement dissipatif d'ordre 0, il peut être généralisé à des opérateurs de tout ordre, et donc notamment au cas où le système est partiellement visqueux. Par ailleurs, Beauchard et Zuazua ne considèrent que des données initiales très régulières et dont toutes les composantes ont la même régularité alors que, au moins dans le cas partiellement visqueux, on s'attend à pouvoir affaiblir ces hypothèses pour les composantes affectées par la viscosité. Le premier travail de thèse consistera à revoir les travaux de Beauchard-Zuazua dans un cadre à régularité critique. Cela devrait être possible en adoptant une approche basée sur la décomposition de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel. Il s'agit essentiellement de reprendre les arguments de Beauchard-Zuazua directement sur le système localisé en fréquence, et de faire appel à des estimations de commutateur adéquats. Par la même occasion, on devrait pouvoir établir la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables (avec un taux de convergence alébrique). Le deuxième travail de thèse sera l'adaptation de Beauchard-Zuazua aux systèmes de lois de conservation avec termes de viscosité considérés par exemple par D. Serre. Le travail consistera d'une part à affaiblir les hypothèses de régularité sur les composantes de la solution affectées par la viscosité, d'autre part, à trouver des conditions suffisantes pour que les solutions soient globales en temps (dans ses travaux, D. Serre n'aborde que l'existence à temps petit). La suite de la thèse consistera à appliquer les résultats de la deuxième partie au système de Navier-Stokes compressible afin d'améliorer le résultat d'existence globale et de decay à régularité critique établi par R. Danchin. Dans ce même cadre, on pourra aussi calculer le premier terme du développement asymptotique des solutions globales et aborder diverses études asymptotiques (nombres de Reynolds ou de Mach tendant vers 0, par exemple).

  • Titre traduit

    Partially dissipative Partial Differential Equations, and application to fluid mechanics.


  • Résumé

    The study of quasilinear symmetric hyperbolic systems goes back to the 60's with the works of S. Godunov and P. Lax. It is motivated by the study of conservation law systems which appear in a lot of models related to fluid mechanics. In the multidimensional case, the existence of smooth solutions locally in time is well understood, however we don't have the existence of smooth solutions globally in time, even for small initial data. In a lot of relevant physical case (e.g. compressible Euler equation with friction or compressible Navier-Stokes Equation), those systems include a damping term or a dissipation term acting only on some of the components of the solution. This partial dissipation or partial damping, even if it's indirect, can be sufficient to assure the global existence for some small enough smooth initial data. In Kawashima's thesis from the 80's, there is an invariable criteria that assures the existence of global solutions for such systems. This condition was recently revisited by K. Beauchard and E. Zuazua who made the link between the notion of observability in control theory an this condition. They could then prove the global existence for some case that weren't covered by S. Kawashima. The strongness of Beauchard-Zuazua approach is that it allows to determine if the linearized system is stable without having to calculate explicitly the corresponding eigenvalues. Inspired by controllability's method we may exhibit a suitable Lyapunov function. If Beauchard and Zuazua's work is dedicated to hyperbolic system of first order with a partially dissipative term of order 0, it can be generalised to operator of any order and so especially to a partially viscous system. Otherwise, Beauchard et Zuazua only consider very smooth initial data which components all have the same regularity even though, at least in the partially viscous case, we expect to weaken those conditions for the components affected by the viscosity. The first part of this thesis will consist in reviewing the work of Beauchard-Zuazua in a critical regularity framework. This should be possible thanks to the Littlewood-Paley theory and the paradifferential calculus. Essentially, it consists in reusing Beauchard-Zuazua's arguments and to apply them directly on the system localised in frequency and then to use appropriate commutator estimates. At the same time, we should be able to establish the convergence in time to stable stationnary states (with algebraic convergence rate). The second part of the thesis will consist of adapting Beauchard-Zuazua's way to conservation law systems with viscous term, considered, for example, by D.Serre. We will have to weaken the hypothesis of regularity made on the solution's component affected by the viscosity. And also to find sufficient conditions for the solutions to be global in time. And then we will apply those results to the compressible Navier-Stokes equation in order to improve the results of R. Danchin about global existence and decay in the critical regularity framework. In this setting, we will also be able to calculate the first term of the asymptotic development of the global solutions and then study various asymptotic behaviors. (Reynolds and Mach number decaying to 0, for instance)