Equations aux dérivées partielles, partiellement dissipatives et application à la mécanique des fluides

par Timothée Crin-Barat

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Raphaël Danchin.

Thèses en préparation à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de Équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) depuis le 01-10-2017 .


  • Résumé

    L'étude des systèmes hyperboliques symétriques quasilinéaires remonte aux années 60 avec les travaux de S. Godunov et P. Lax. Elle est motivée par celle des sysèmes de lois de conservation qui apparaissent dans de nombreux modèles liés à la mécanique des fluides. Dans le cas multi-dimensionnel, si l'existence de solutions régulières locales en temps est bien comprise, on ne dispose en général pas de solutions régulières globales, même pour des données initiales petites. Dans de nombreuses situations physiquement pertinentes (e.g. équations d'Euler com- pressible avec terme de friction, ou équations de Navier-Stoke compressible), ces systèmes comportent en plus un terme d'amortissement ou de dissipation agissant uniquement sur certaines composantes de la solution. Cet effet, bien qu'indirect, est parfois suffisant pour assurer l'existence globale pour des données initiales régulières suffisamment petites. Dans sa thèse datant des années 80, S. Kawashima a découvert un critère systématique assurant l'existence de solutions globales pour de tels systèmes. Ce critère a été récemment revisté par K. Beauchard et E. Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d'observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l'existence globale dans des situations qui n'étaient pas couvertes par S. Kawashima. La force de l'approche de Beauchard-Zuazua est qu'elle permet de déterminer si le linéarisé du système étudié est stable sans avoir à calculer explicitement les valeurs proprees associées : en s'inspirant de méthodes de contrôlabilité, on parvient à exhiber une fonctionnelle de Lyapunov adéquate. Si le travail de Beauchard et Zuazua est dédié au cas de systèmes hyperboliques du premier ordre avec un terme partiellement dissipatif d'ordre 0, il peut être généralisé à des opérateurs de tout ordre, et donc notamment au cas où le système est partiellement visqueux. Par ailleurs, Beauchard et Zuazua ne considèrent que des données initiales très régulières et dont toutes les composantes ont la même régularité alors que, au moins dans le cas partiellement visqueux, on s'attend à pouvoir affaiblir ces hypothèses pour les composantes affectées par la viscosité. Le premier travail de thèse consistera à revoir les travaux de Beauchard-Zuazua dans un cadre à régularité critique. Cela devrait être possible en adoptant une approche basée sur la décomposition de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel. Il s'agit essentiellement de reprendre les arguments de Beauchard-Zuazua directement sur le système localisé en fréquence, et de faire appel à des estimations de commutateur adéquats. Par la même occasion, on devrait pouvoir établir la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables (avec un taux de convergence alébrique). Le deuxième travail de thèe sera l'adaptation de Beauchard-Zuazua aux systèmes de lois de conservation avec termes de viscosité considérés par exemple par D. Serre. Le travail consistera d'une part à affaiblir les hypothèses de régularité sur les composantes de la solution affectées par la viscosité, d'autre part, à trouver des conditions suffisantes pour que les solutions soient globales en temps (dans ses travaux, D. Serre n'aborde que l'existence à temps petit). La suite de la thèse consistera à appliquer les résultats de la deuxième partie au système de Navier-Stokes compressible afin d'améliorer le résultat d'existence globale et de decay à régularité critique établi par R. Danchin. Dans ce même cadre, on pourra aussi calculer le premier terme du développement asymptotique des solutions globales et aborder diverses études asymptotiques (nombres de Reynolds ou de Mach tendant vers 0, par exemple).

  • Titre traduit

    Partially dissipative Partial Differential Equations, and application to fluid mechanics


  • Résumé

    (Traduction à faire) L'étude des systèmes hyperboliques symétriques quasilinéaires remonte aux années 60 avec les travaux de S. Godunov et P. Lax. Elle est motivée par celle des sysèmes de lois de conservation qui apparaissent dans de nombreux modèles liés à la mécanique des fluides. Dans le cas multi-dimensionnel, si l'existence de solutions régulières locales en temps est bien comprise, on ne dispose en général pas de solutions régulières globales, même pour des données initiales petites. Dans de nombreuses situations physiquement pertinentes (e.g. équations d'Euler com- pressible avec terme de friction, ou équations de Navier-Stoke compressible), ces systèmes comportent en plus un terme d'amortissement ou de dissipation agissant uniquement sur certaines composantes de la solution. Cet effet, bien qu'indirect, est parfois suffisant pour assurer l'existence globale pour des données initiales régulières suffisamment petites. Dans sa thèse datant des années 80, S. Kawashima a découvert un critère systématique assurant l'existence de solutions globales pour de tels systèmes. Ce critère a été récemment revisté par K. Beauchard et E. Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d'observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l'existence globale dans des situations qui n'étaient pas couvertes par S. Kawashima. La force de l'approche de Beauchard-Zuazua est qu'elle permet de déterminer si le linéarisé du système étudié est stable sans avoir à calculer explicitement les valeurs proprees associées : en s'inspirant de méthodes de contrôlabilité, on parvient à exhiber une fonctionnelle de Lyapunov adéquate. Si le travail de Beauchard et Zuazua est dédié au cas de systèmes hyperboliques du premier ordre avec un terme partiellement dissipatif d'ordre 0, il peut être généralisé à des opérateurs de tout ordre, et donc notamment au cas où le système est partiellement visqueux. Par ailleurs, Beauchard et Zuazua ne considèrent que des données initiales très régulières et dont toutes les composantes ont la même régularité alors que, au moins dans le cas partiellement visqueux, on s'attend à pouvoir affaiblir ces hypothèses pour les composantes affectées par la viscosité. Le premier travail de thèse consistera à revoir les travaux de Beauchard-Zuazua dans un cadre à régularité critique. Cela devrait être possible en adoptant une approche basée sur la décomposition de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel. Il s'agit essentiellement de reprendre les arguments de Beauchard-Zuazua directement sur le système localisé en fréquence, et de faire appel à des estimations de commutateur adéquats. Par la même occasion, on devrait pouvoir établir la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables (avec un taux de convergence alébrique). Le deuxième travail de thèe sera l'adaptation de Beauchard-Zuazua aux systèmes de lois de conservation avec termes de viscosité considérés par exemple par D. Serre. Le travail consistera d'une part à affaiblir les hypothèses de régularité sur les composantes de la solution affectées par la viscosité, d'autre part, à trouver des conditions suffisantes pour que les solutions soient globales en temps (dans ses travaux, D. Serre n'aborde que l'existence à temps petit). La suite de la thèse consistera à appliquer les résultats de la deuxième partie au système de Navier-Stokes compressible afin d'améliorer le résultat d'existence globale et de decay à régularité critique établi par R. Danchin. Dans ce même cadre, on pourra aussi calculer le premier terme du développement asymptotique des solutions globales et aborder diverses études asymptotiques (nombres de Reynolds ou de Mach tendant vers 0, par exemple).