Engendrement fini de l'algèbre des orbites des groupes à profil polynomial

par Justine Falque

Projet de thèse en Mathématiques et Informatique

Sous la direction de Nicolas Thiéry.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec LRI - Laboratoire de Recherche en Informatique (laboratoire) , GALaC - Graphes, Algorithmes et Combinatoire (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2016 .


  • Résumé

    Soit G un groupe agissant sur un ensemble E dénombrable, par exemple le groupe d'automorphismes d'un graphe infini. Le profil de G est la fonction qui compte, pour chaque n, le nombre d'orbites dans les sous-ensembles de taille n de E sous l'action de G. Ce profil est soit borné par un polynôme, soit à croissance plus rapide que tout polynôme. Cameron a conjecturé que dans le premier cas le profil est asymptotiquement équivalent à un polynôme, et de nombreux cas particuliers et exemples suggèrent qu'il s'agisse en fait d'un quasi-polynôme. Pour mieux comprendre ce phénomène (que l'on retrouve dans de nombreux contextes), Cameron a construit une structure d'algèbre graduée sur les orbites A(G) qui permet d'interpréter le profil comme une série de Hilbert. Si l'algèbre est finiment engendrée, le profil est nécessairement un quasi-polynôme. Macpherson a conjecturé que, réciproquement, si le profil est borné par un polynôme, alors l'algèbre est finiment engendrée, ce qui impliquerait la conjecture de Cameron. L'objectif de cette thèse est d'aborder la conjecture de Macpherson, en commençant par le cas d'un profil à croissance linéaire et par l'exploration informatique de nombreux exemples. Par nature, ce projet est transdisciplinaire entre mathématique et informatique: il mêle combinatoire finie et infinie (Ramsey, compacité), combinatoire énumérative et combinatoire algébrique (séries formelles), algèbre commutative et théorie des invariants, théorie des groupes, logique. L'exploration informatique nécessitera la conception et l'implantation de structures de données et d'algorithmes adéquats afin de calculer efficacement avec le groupe G, ses orbites, pour au final déterminer les systèmes générateurs dans l'algèbre des orbites.

  • Titre traduit

    Finite generation of the orbit algebra of groups with polynomial profile


  • Résumé

    Let G be a group acting on a countable set E, for example the automorphism group of an infinite graph. The profile of G is the function which counts, for each n, the number of orbits among subsets of size n of E under the action of G. This profile is either bounded by a polynomial or grows faster than any polynomial. Cameron conjectured that, in the former case, the profile is asymptotically equivalent to a polynomial, and examples and special cases suggest that this is in fact a quasi-polynomial. To better understand this phenomenon (which appears in many related contexts), Cameron constructed a graded algebra structure A(G) on orbits which allows for interpreting the profile as a Hilbert series. If the algebra is finitely generated, the profile is necessarily a quasi-polynomial. In the eighties, Macpherson conjectured reciprocally that, if the profile is bounded by a polynomial, then the algebra is finitely generated which would imply Cameron's conjecture. The objective of this thesis is to approach Macpherson's conjecture, starting from profile with linear growth and the computer exploration of many examples. By nature, this project is transdisciplinary between Mathematics and Computer Science. It mixes finite and infinite combinatorics (Ramsey, compacity), enumerative and algebraic combinatorics (formal power series), commutative algebra and invariant theory, group theory, logic. The computer exploration will require the design and implementation of appropriate data structures and algorithms in order to compute efficiently with the group, its orbits, and its algebra.