Ensembles basiques et matrices de décomposition de groupes finis de type de Lie en petite caractéristique

Basic sets and decomposition matrices of finite groups of Lie type in small characteristic

• Auteur / Autrice : Reda Chaneb
• Direction : Olivier Brunat, Olivier Dudas
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/10/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Jacon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Brunat, Olivier Dudas, Nicolas Jacon, Gunter Malle, Cédric Lecouvey, Jean Michel, Ramla Abdellatif
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gunter Malle, Cédric Lecouvey

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réduction de Jordan

Représentations modulaires de groupes

Représentations de groupes de Lie

Mots clés libres

Deligne-Lusztig

Ensembles basiques

Matrices de décompositions

Groupes réductifs finis

Groupes finis de type de Lie

Deligne-Lusztig

Representations

Basic sets

Decomposition matrices,

Modular representations

Reductive groups

Finite reductive groups

Finite groups of Lie type

Résumé

Cette thèse se concentre sur les aspects modulaires de la théorie des représentations. Plus précisément, nous nous intéressons aux ensembles basiques des blocs unipotents des groupes finis de type de Lie qui vérifient une propriété d’ « unitriangularité ». Dans la première partie de cette thèse , en nous inspirant des travaux de Lusztig sur le paramétrage des représentations unipotentes en caractéristique 0, nous introduisons une méthode pour compter les représentations modulaires irréductibles contenues dans les blocs unipotents. Nous conjecturons que cette méthode est valable pour tout les groupes finis de type de Lie définis sur un corps dont la caractéristique est bonne et nous montrons que la conjecture est vraie dans un certain nombre de cas. La seconde partie de cette thèse a consisté à généraliser les résultats de Geck sur l’existence d’ensemble basiques unitriangulaire pour les 2-blocs unipotents des groupes classiques au cas ou le centre est non connexe. Le dernier aspect de cette thèse porte sur les matrices de décomposition des groupes finis de type de Lie dans le cas de mauvais nombres premier. Nous obtenons des résultats pour le groupe le groupe Sp4(q) et le groupe exceptionnel G2(q).

This thesis is focused on the modular aspect of representation theory. More precisely, we are interisted in basic sets for unipotent blocks of finite groups of Lie typ which are « unitriangular ». In the first part of the thesis, following Lusztig’s work on the parametrisation of unipotent representations in characeristic , we introduce a method to count irreducible modular representations lying in unipotent blocks. We conjecture that our method holds for every finite groups of Lie type defined over a field of good characteristic and we verify our conjecture in many cases. The second part of the thesis consists to generalize results of Geck on the existence of unitriangular basic sets for unipotent 2-blocks of classical groups to the case where the center is disconnected. The last aspect of the thesis is the computation of decomposition matrices of finite groups of Lie type for bad primes. We got results for Sp4(q) and G2(q).