Structure de cohomologie de Hochschild pour les algèbres de dimension finie

par Marco Armenta Armenta

Projet de thèse en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Claude Cibils et de De la Peña Mena José Antonio Stephan.

Thèses en préparation à Montpellier en cotutelle avec Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015) , en partenariat avec IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (laboratoire) et de GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre. (equipe de recherche) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Soit $A$ une alg`{e}bre de dimension finie sur un corps $k$. Un des objectifs principaux de la th`{e}se est de consid'{e}rer la structure de module de l'homologie de Hochschild $HH_*(A)$ sur la cohomologie de Hochschild $HH^*(A)$ donn'{e}e par le cap produit, pour d'{e}montrer que que cette structure est invariante par '{e}quivalence d'{e}riv'{e}e. Etant donn'{e}e une alg`{e}bre $A$, classiquement plusieurs sturctures alg'{e}briques lui sont attach'{e}es. Par exemple la cohomologie de Hochschild avec son cup produit qui en fait une alg`{e}bre commutative gradu'{e}e, l'homologie de Hochschild et la cyclique, ou bien encore la $K$-th'{e}orie. Ce sont des invariants par '{e}quivalence d'{e}riv'{e}e, en d'autres mots ils ne varient pas (sauf isomorphisme) lorsque deux alg`{e}bres sont '{e}quivalentes par '{e}quivalence d'{e}riv'{e}e, voir e.g. [Keller, Bernhard On differential graded categories. Proceedings of the international congress of mathematicians (ICM), Madrid, Spain, 2006, Volume II: Invited lectures. Z"{u}rich: European Mathematical Society (EMS) 151-190 (2006)]. Plus pr'{e}cis'{e}ment, il n'est pas connu si la structure de module par le cap produit "ne d'{e}pend seulement" que de la cat'{e}gorie d'{e}riv'{e}e. Il n'est m^{e}me pas connu si l'action de la cohomologie de Hochschild sur l'homologie de Hochschild est un in-va-riant de Morita. Si deux alg`{e}bres $A$ et $B$ ont des cat'{e}gories de modules '{e}quivalentes, un des objectifs de cette th`{e}se est de montrer que les structures obtenues via le cap produit sont aussi isomorphes. Ceci constitue d'{e}j`{a} un premier d'{e}fi. Le cadre de la recherche `{a} entreprendre est donn'{e} par les r'{e}sultats positifs mentionn'{e}s, obtenus r'{e}cemment, concernant l'invariance par '{e}quivalence d'{e}riv'{e}e pour des stuctures proches. Le cap produit fait partie de ce sch`{e}ma. De fac{c}on `{a} bien ap'{e}hender la situation, plusieurs familles d'alg`{e}bres seront tout d'abord consid'{e}r'{e}es en relation avec le cap produit. Par exemple les alg`{e}bres h'{e}r'{e}ditaires, ou de radical carr'{e} nul, sont des familles int'{e}ressantes et cruciales, elles sont bien comprises dans la litt'{e}rature en relation avec les th'{e}ories d'homologie et de cohomologie. Cependant le cap produit n'a pas '{e}t'{e} consid'{e}r'{e} pour ces familles, son analyse et sa description dans ce contexte est un premier objectif imm'{e}diat `{a} r'{e}aliser, les r'{e}sultats donneront un '{e}clairage sur la th'{e}orie du cap produit pour les alg`{e}bres de dimension finie. Les r'{e}sultats de structure `{a} obtenir pour ces familles pourraient ^{e}tre surprenants. Une autre composante structurante de ce projet est de mettre en relation le cap produit avec la dualit'{e} de Poincar'{e}, suite `{a} ce qui est connu en topologie alg'{e}brique.

  • Titre traduit

    Hochschild cohomology structure for finite dimensional algebras


  • Résumé

    Let $A$ be a finite dimensional associative algebra over a field $k$. One of the main purposes of the thesis is to consider the module structure of the Hochschild homology $HH_*(A)$ over the Hochschild cohomology $H^*(A)$ provided by the cap product in order to prove that this structure is invariant under derived equivalence. More precisely, given an algebra $A$, classically several algebraic structures or theories are associated to it, for instance Hochschild cohomology with its cup product which makes it a graded commutative algebra, Hochschild and cyclic homology or $K$-theory. Those are invariants with respect to derived equivalence, in other words they do not vary (up to isomorphism) when two algebras are derived equivalent, see e.g. [Keller, Bernhard On differential graded categories. Proceedings of the international congress of mathematicians (ICM), Madrid, Spain, 2006, Volume II: Invited lectures. Z"{u}rich: European Mathematical Society (EMS) 151-190 (2006)]. It is not known if the module structure through the cap product also 'only depend' on the derived category. It is not even know if this action of the Hochschild cohomology on the Hochschild homology is a Morita invariant. If two algebras $A$ and $B$ have equivalent categories of modules, one of the aims of this thesis is to prove that the structures obtained through the cap product are isomorphic as well. This constitutes already a challenging first step. The frame of the research to be undertaken is provided by the mentioned positive results obtained recently concerning invariance under derived equivalence. The cap product is part of this scheme. In order to fully understand the situation, several families of algebras will be firstly considered in relation with the cap product. For instance hereditary algebras or radical square algebras are interesting and crucial families of algebras, and they are well understood in the literature with respect to homology and cohomology theories. However the cap product has not been considered for those families, its analysis and description in this context is an immediate first objective to be achieved, the results will provide a highlight on the cap product theory for finite dimensional algebras. The structure results to be obtained for those families may be surprising. Another structural component of this project is to relate the cap product with Poincar'{e} duality, after what is known in algebraic topology.