Valeurs propres et vecteurs propres de grandes matrices soumises à des perturbations aléatoires

Eigenvalues and eigenvectors of large matrices under random perturbations

• Auteur / Autrice : Alkéos Michaïl
• Direction : Florent Benaych-Georges
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/07/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Descartes (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques Appliquées Paris 5 / MAP5 - UMR 8145
• Jury : Président / Présidente : Djalil Chafaï
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florent Benaych-Georges, Djalil Chafaï, Jamal Najim, Sean O'Rourke, Nathanaël Enriquez
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jamal Najim, Sean O'Rourke

Mots clés

Mots clés contrôlés

Vecteurs propres

Bifurcation, Théorie de la

Mots clés libres

Matrices aléatoires

Théorie de la perturbation

Matrices de Wigner

Matrices bandes

Transformée de Hilbert

Champ libre gaussien

Densité spectrale

Valeurs propres

Vecteurs propres

Mesure spectrale empirique

Mesure spectrale contre un vecteur

Développement perturbatif

Random matrices

Perturbation theory

Wigner matrices

Band matrices

Hilbert transform

Gaussian free field

Spectral density

Eigenvalues

Eigenvectors

Empirical spectral measure

Spectral measure over a vector

Perturbative expansion

Résumé

La présente thèse est consacrée à l’étude de l’effet d’une perturbation sur le spectre d’une matrice hermitienne perturbée par une matrice aléatoire de petite norme opérateur et dont les entrées dans la base propre de la première matrice sont indépendantes, centrées et possèdent un profil de variance. Ceci est réalisé au travers de développements perturbatifs de divers types des lois spectrales des grandes matrices perturbées considérées. Dans un premier temps, nous démontrons différents développements perturbatifs de la mesure spectrale empirique dans les cas du régime perturbatif et du régime semi-perturbatif et mettons en évidence des modèles heuristiques bien connus en physique, comme la transition entre les régimes semi-perturbatifs et perturbatifs. Dans un deuxième temps, nous proposons une étude approfondie du régime semi-perturbatif et prouvons le fait nouveau que ce régime peut être décomposé en un nombre infini de sous-régimes. Enfin, nous démontrons, au travers d’un développement perturbatif des mesures spectrales associées à un vecteur donné, un développement perturbatif des coordonnées des vecteurs propres des matrices perturbées que nous considérons.

The present thesis is devoted to the study of the effect of a perturbation on the spectrum of a Hermitian matrix by a random matrix with small operator norm and whose entries in the eigenvector basis of the first one were independent, centered and with a variance profile. This is carried out through perturbative expansions of various types of spectral laws of the considered perturbed large matrices. First, we demonstrate different perturbative expansions of the empirical spectral measure in the cases of the perturbative regime and the semi-perturbative regime and highlight well known heuristic patterns in Physics, as the transition between semi-perturbative and perturbative regimes. Secondly, we provide a thorough study of the semi-perturbative regime and prove the new fact that this regime could be decomposed into infinitely many sub-regimes. Finally, we prove, through a perturbative expansion of spectral measures associated to the state defined by a given vector, a perturbative expansion of the coordinates of the eigenvectors of the perturbed matrices.