Développement asymptotique des sommes harmoniques.

par Van chien Bui

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Gerard Duchamp.

Thèses en préparation à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) depuis le 26-09-2013 .


  • Résumé

    En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtas sous leur aspect combinatoire, nous introduisons d’abord la définition d’un produit entre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits de mélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètes d’algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité, contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicites sur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sont indexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale. De cette façon, nous déterminons des développements asymptotiques des sommes harmoniques, indexées par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d’Euler Maclaurin. Nous établissons également une équation de liaison sur les polyzêtas, qui apparaissent comme les parties finies des développements asymptotiques des sommes harmoniques et des polylogarithmes, reliant entre elles deux structures algébriques. En identifiant les coordonnées locales de cette équation, nous trouvons des relations polynomiales homogènes, en poids, entre les polyzêtas. Pour accompagner cette étude théorique, nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, la structure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques.

  • Titre traduit

    Asymptotic development of harmonic sums.


  • Résumé

    Approaching special numbers as harmonic sums or polyzetas (multiple zeta values) in the spirit of combinatorics, we first focus on the study of algebraic structures on words by introducing the definition of a product on words, called q-stuffle product, a common generalisation of shuffle and quasi-shuffle products, which allows us to completely construct Hopf algebras in duality. Simutaneously, we establish recurrent formulas in order to compute bases in duality, containing transcendence bases tied to Lyndon words on which harmonic sums, the polyzetas and polylogarithms are indexed. We use them to represent the factorization of a diagonal noncommutative generating series. In this respect, we determine asymptotic expansions of harmonic sums thanks to their generating series and to Euler Maclaurin formula. We also establish a bridge equation of polyzetas, which appear as fini parts in asymptotic expansions of harmonic sums and of polylogarithms, linking two algebraic structures. Through identification of local coordinates of this equation, we can deduce homogenous, in weight, polynomial relations among polyzetas indexed on the bases.We also give algorithms and a package in Maple which, in practice, allowed us to find results and examples within this thesis.