Equations d'Hamilton-Jacobi discontinues et applications

par Jessica Guerand

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Cyril Imbert.

Thèses en préparation à Paris Sciences et Lettres , dans le cadre de Sciences Mathématiques de Paris Centre , en partenariat avec DMA - Département de Mathématiques et Applications (laboratoire) , Analyse (DMA) (equipe de recherche) et de Ecole normale supérieure (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2015 .


  • Résumé

    Les équations de Hamilton-Jacobi ne possèdent pas en général de solutions classiques, c'est-à-dire de solutions qui soient suffisamment régulières pour satisfaire l'équation liant les dérivées partielles en chaque point. Il est alors nécessaire d'utiliser la notion de solutions faibles introduites par Crandall et Lions en 1981: les solutions de viscosité. Cette notion de solutions faibles est sous-tendu par le principe du maximum. Elle permet de prendre en compte les conditions de bord de façon satisfaisante. Cette notion a récemment été étendue au cadre des équations de Hamilton-Jacobi discontinues (en espace) par Imbert et Monneau dans le cas quasi-convexe (en gradient). Le sujet de thèse est construit autour de deux axes de recherche qui ont trait aux équations de Hamilton-Jacobi (à coefficients) discontinues. Le premier consiste à généraliser le résultat de [1] ; le second consiste à répondre à une question ouverte posée dans [2] sur les mouvements de fronts. [1] C. Imbert and R. Monneau. Flux-limited solutions for quasi-convex Hamilton-Jacobi equations on networks. ArXiv e-prints, June 2013. [2]C. M. Elliott, Y. Giga, and S. Goto. Dynamic boundary conditions for Hamilton- Jacobi equations. SIAM J. Math. Anal., 34(4) :861–881, 2003.

  • Titre traduit

    Discontinuous Hamilton-Jacobi equations and their applications


  • Résumé

    Generally Hamilton-Jacobi equations don't have classical solutions, i.e., solutions which are regular enough to satisfy the equation in every point. It is then necessary to use the notion of weak solutions introduced by Crandall and Lions in 1981: viscosity solutions. This notion of weak solutions is underlain by the maximum principle. This notion allows to take into account the boundary conditions in a good way. Recently this notion has been enlarged to discontinuous (in space) Hamilton-Jacobi equations by Imbert and Monneau in the quasi-convex case (at the gradient variable). The thesis subject contains two problems linked with discontinuous Hamilton-Jacobi equations. The first one consists in generalizing the result of [1]; the second one to solve an open question in [2] about front movements. [1] C. Imbert and R. Monneau. Flux-limited solutions for quasi-convex Hamilton-Jacobi equations on networks. ArXiv e-prints, June 2013. [2]C. M. Elliott, Y. Giga, and S. Goto. Dynamic boundary conditions for Hamilton- Jacobi equations. SIAM J. Math. Anal., 34(4) :861–881, 2003.