De l'usage des opérateurs en combinatoire : construction, analyse et génération aléatoire.

par Nicolas Rolin

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Olivier Bodini.

Thèses en préparation à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) depuis le 17-09-2013 .


  • Résumé

    On ´etudie en combinatoire les objets munis d’une taille (la taille dans le cadre informatique peut se traduire par exemple par la m´emoire occup´ee par l’objet). On appelle classe combinatoire un ensemble d’objets qui pour toute taille poss`ede un nombre fini d’´el´ements. On peut par exemple consid´erer les textes r´egis par une certaine grammaire, dans ce cas la taille est le nombre de caract` eres, ou des arbres avec comme taille le nombre de noeuds. Une m´ethode naturelle pour d´ecrire les classes, la m´ethode symbolique, consiste `a d´ecomposer les objets en sous-objets plus ´el´ementaires `a l’aide d’op´erateurs (tels que l’union disjointe, le produit cart´esien,...). On peut ensuite traduire ces d´ecompositions sur des s´eries formelles. Le premier volet de r´esultats pr´esent´es dans cette th`ese traite de la m´ethode symbolique et de son utilisation. On y pr´esente des r´esultats asymptotiques sur des mod`eles d’arbres croissants issus de la th´eorie de la concurrence, puis une discussion sur comment d´ecomposer certains op´erateurs en r´eplications ´el´ementaires. Le deuxi`eme volet de r´esultats s’int´eresse au sujet de la g´en´eration al´eatoire uniforme d’objets dans une classe donn´ee. On montre tout d’abord comment g´en´erer des structures croissantes en adaptant les m´ethodes de g´en´eration r´ecursive classiques aux op´erateurs de produit croissant. On pr´esente ensuite des r´esultats sur la g´en´eration de Boltzmann, avec une comparaison quantitative de deux m´ethodes, puis une extension permettant de conserver les propri´et´es d’uniformit´e de la g´en´eration en utilisant des approximations.

  • Titre traduit

    On usage of operators in combinatorics : construction, analysis and random generation.


  • Résumé

    We study in combinatorics objects with a size (size in informatics setting can be the memory space used to represent an object). We call a combinatorial class a set of objects who for a given size have only a finite number of elements. We can for example look at text generated by a given grammar, with the number of characters as size, or trees with the number of nodes as size. A natural way of describing classes, the symbolic method, consists in decomposing objects in more elementary sub-objects with operators (disjoint union, cartesian product,...). Then we can translate theses decompositions to formal power series. The first batch of results in this thesis deals with the symbolic method and its usage. We present asymptotic results on models of increasing trees coming from concurrency theory, then we discuss on how to decompose some operators in elementary replications. The second batch of results deals with uniform random generation of objects in a given class. We first show how to generate increasing structures by adapting the recursive generation techniques to increasing product operators. Then we present two results on Boltzmann generation, with a quantitative comparison of two methods and with an extension allowing us to use approximatives values while retaining the uniformity of the generation.