Inégalités fonctionnelles et propriétés spectrales des espaces métriques mesurés à courbure minorée

par David Tewodrose

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Coulhon Thierry et de Luigi Ambrosio.

Thèses en préparation à Paris Sciences et Lettres en cotutelle avec Scuola Normale Superiore di Pisa , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec DMA - Département de Mathématiques et Applications (laboratoire) et de Ecole normale supérieure (établissement de préparation de la thèse) depuis le 02-11-2015 .


  • Résumé

    Cette thèse contient essentiellement deux volets. Le premier volet concerne la théorie spectrale des espaces RCD*(K,N). Ces espaces ont été introduits en 2011 par Ambrosio, Gigli et Savaré à la suite de travaux de Lott-Villani et Sturm introduisant la condition CD(K,N) et de Bacher-Sturm introduisant la condition CD*(K,N). Ils ont fait depuis l'objet d'une étude intensive, notamment parce qu'ils contiennent la cloture sous convergence Gromov-Hausdorff de la classe des variétés riemanniennes compactes à courbure de Ricci minorée: en particulier une preuve utilisant la structure RCD d'une Ricci limite se révèle plus intrinsèque qu'une preuve riemannienne classique, car elle permet d'éviter le recours à une suite approximante. Dans cette thèse, on se concentre principalement sur deux résultats de géométrie riemmannienne de nature spectrale, à savoir la loi de Weyl et le théorème de plongement de Bérard, Besson et Gallot, valides sur les variétés riemanniennes compactes, que l'on étend au cas des espaces RCD*(K,N) compacts avec N fini. L'étude de la structure des espaces RCD*(K,N) étant devenu un sujet de recherche à part entière, l'un des objectifs de ces résulats est d'apporter une meilleure compréhension de cette structure. Le deuxième volet de cette thèse concerne les développements possibles autour des inégalités de Sobolev à poids introduites par Minerbe en 2009 sur les variétés riemanniennes non-compactes à courbure de Ricci positive. Ces développements s'articulent autour de deux directions principales. La première est d'étendre ces inégalités à des structures plus faibles que celle des variétés à courbure de Ricci positive (espaces CD(0,N), espace métrique mesuré avec doublement et Poincaré, etc). La seconde est d'adapter la preuve de Minerbe pour obtenir un résultat similaire sur les variétés riemanniennes à courbure de Ricci minorée par une fonction adéquate de la distance à un pole de référence. Enfin un autre objectif, plus fondamental, est de répondre à la question suivante: comment ces inégalités de Sobolev à poids dialoguent-elles avec les inégalités fonctionnelles classiques (Sobolev, Nash, Faber-Krahn) équivalentes à des bornes du noyau de la chaleur?

  • Titre traduit

    Functional inequalities and spectral properties of metric measure spaces with curvature bounded below


  • Résumé

    This thesis has essentially two aims. First aim is about spectral theory of RCD*(K,N) spaces. These spaces were introduced in 2011 by Ambrosio, Gigli and Savaré following works by Lott-Villani and Sturm introducing the CD (K,N) condition and by Bacher-Sturm introducing the CD*(K,N) condition. They have since been the subject of intensive research, notably because they contain the Gromov-Hausdorff closure of the class of compact Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded below: in particular a proof using the RCD structure of a Ricci limit is more intrinsic than any classical Riemannian proof, because it avoids the use of an approximating sequence. In this thesis, we concentrate mainly on two results of Riemannian geometry of spectral nature, namely Weyl's law and Bérard-Besson-Gallot embedding theorem, valid on compact Riemannian manifolds, which we extend to the case of the RCD*(K,N) compact spaces with N finite. The study of the structure of RCD*(K,N) spaces has become a research subject in its own right, hence one of the objectives of our results is to provide a better understanding of this structure. The second part of this thesis deals with possible developments around the Sobolev inequalities introduced by Minerbe in 2009 on non-compact Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature. These developments revolve around two main directions. The first is to extend these inequalities to weaker structures than those of non-negative Ricci curvatures (CD spaces (0,N), metric measure spaces with doubling and Poincaré, etc.). The second is to adapt Minerbe's proof to obtain a similar result on Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded below by a suitable function of the distance to a reference pole. Finally, another more fundamental objective is to answer the following question: how do these weighted Sobolev inequalities interact with the classical functional inequalities (Sobolev, Nash, Faber-Krahn) and to the equivalent bounds on the heat kernel?