'CONTRAT DOCTORAL PRIORITAIRE' Structure des cycles d'un graphe orienté

par Jocelyn Thiebaut

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Stéphane Bessy.

Thèses en préparation à Montpellier , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015) , en partenariat avec Laboratoire d'Informatique, Robotique et Micro-électronique de Montpellier (laboratoire) depuis le 01-10-2016 .


  • Résumé

    Au regard des développements de la théorie des graphes ces dernières décennies, l'étude des graphes orientés semble encore marginale. L'objectif de la thèse est d'étudier des problèmes algorithmiques et structuraux liés à l'organisation des cycles orientés dans les graphes orientés. Un graphes orienté est dit acyclique si il ne contient pas de cycle orienté. De nombreux problèmes algorithmiques sont faciles (résolubles en temps polynomial) sur des graphes orientés acycliques alors qu'il sont (NP-)difficiles sur les graphes orientés en général. On peut citer par exemple: CHEMIN-HAMILTONIEN, MIN-PARTITION-EN-CHEMINS, K-LINKAGE... La complexité des problèmes sur un graphe orienté dépend ainsi de la structure des cycles orientés qu'il contient. Ce sujet de recherche est relativement vaste, étudié mais pas forcément très intensivement et il y a de la place pour obtenir des résultats intéressants voire de premier plan. De plus, ce domaine de la théorie (algorithmique) des graphes est en lien avec de nombreuses facettes de la combinatoire ou de l'algorithmique: algorithmique paramétrée, méthodes probabilistes, théorie extrémale, aspect topologique... Plus précisément, on pourra se pencher sur les questions suivantes: - Partition minimum en sous graphes acycliques. Xo(D) désigne le nombre minimum de graphes acycliques partitionnant les sommets de D. La question la plus connue concernant Xo est due à V. Neumann-Lara et date des années 80 : a-t-on Xo<=2 pour les graphes orientés planaires ? Outre cet équivalent orienté du théorème des 4 couleurs, de nombreux problèmes sont ouverts autour de cet invariant, le but étant de comprendre son influence sur la structure du graphe orienté étudié . On regardera, par exemple, les thèmes suivants : comment construire des graphes orientés avec grand Xo, en particulier peut-on orienter un graphe de grand nombre chromatique de façon à avoir Xo élevé ; que peut-on dire sur l'aspect algorithmique du calcul de Xo ?... - Propriété d'Erdos-Posa pour les cycles orientés (on a soit k cycles orientés disjoints, soit f(k) sommets dont la suppression rend le graphe acyclique). Des résultats sont connus et sont à la base de nombreux algorithmes (paramétrés notamment), mais la fonction f donnée est inexploitable (tour d'exponentiels...) Peut on clarifier les choses, réduire f, s'attacher à certains types de cycles (les cycles pairs, ou de taille ≥p pour un certain p...)? Les résultats récents de Kawarabayashi et Kreutzer sur les mineurs de graphes orientés peuvent-ils aider? - L'équivalent orienté de l'arbre couvrant de poids min est le 'MSSS problem'(qui cherche un sous graphe fortement connexe couvrant un graphe fortement connexe donné en entrée et dont le nombre d'arêtes est minimum). Ce problème dépend fortement de la structure des cycles orientés du graphes fourni en entrée. Le MSSS problem est connu pour être NP-dur mais aucun schéma d'approximation n'est connu (même dans le cas eulérien ou planaire...)

  • Titre traduit

    Cycles structure in an oriented graph


  • Résumé

    In the light of developments in graph theory in recent decades, the study of directed graphs (or digraphs) still seems marginal. The aim of the thesis is to study algorithmic and structural problems concerning oriented cycles in directed graphs. A digraph is acyclic if said it contains no oriented cycle. Many algorithmic problems are easy (ie. solvable in polynomial time) on acyclic digraphs whereas they are (NP-) hard on digraphs in general: HAMILTONIAN-PATH, MIN-PATH-PARTITION, K-LINKAGE ... The complexity of problems on directed graph often depends on the structure of the oriented cycles in it. This research topic is relatively large, but not necessarily very intensively studied and there is room for some interesting, even leading, results. In addition, this area of Graph (algorithmic) Theory is linked to many aspects of combinatorial and algorithmic topics: parameterized algorithms, probabilistic methods, extremal graph theory, topological aspects ... Specifically, it will address the following questions: - Minimum acyclic subgraph partition. Xo (D) denotes the minimum number of acyclic sub-(di)graph partitioning the vertices of D. The best-known question about Xo is due to V. Neumann-Lara and dates back 80: Does every planar digraphs satisfy Xo <= 2 ? Besides this oriented equivalent of the 4-color theorem, many problems are open concerning this invariant, in order to understand its influence on the structure of the directed graph studied. We look, for example, the following topics: how to construct directed graphs with great Xo, especially can we orient a graph of large (usual) chromatic number to have high Xo; what can we say about the algorithmic aspect of computing Xo? ... - Property Erdos-Posa for directed cycles (either there are k disjoint directed cycles or there exist f(k) vertices whose deletion makes the digraph acyclic). Some results are known in this area and are the basis of many algorithms (including parameterized), but the given function f is unusable (tower of exponential...). Questions are: is it possible to clarify, reduce f, or what happens if we focus on certain types of cycles (cycles with even length, or with size≥p for some p ...)? Can we use recent results from Kawarabayashi and Kreutzer on minors of digraphs in this topic? - An oriented equivalent of the minimum weighted spanning tree is the 'MSSS problem' (where we seek for a strongly connected subdigraph covering a strongly connected graph given as input and with the minimum number of arcs). This problem depends strongly on the structure of the oriented cycles in the input digraphs. The MSSS problem is known to be NP-hard but no approximation scheme is known (even in the Eulerian or planar case ...)