'CONTRAT DOCTORAL PRIORITAIRE' Pavages et limites du calcul : simplicité structurelle et universalité

par Julien Destombes

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Bruno Durand et de Andrei Romaschenko.

Thèses en préparation à Montpellier , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015) , en partenariat avec Laboratoire d'Informatique, Robotique et Micro-électronique de Montpellier (laboratoire) et de Département Informatique (equipe de recherche) depuis le 01-10-2016 .


  • Résumé

    Ce sujet d'informatique théorique est à l'interface de la théorie algorithmique de la pavabilité, et de la combinatoire des pavages. Les pavages sont très connus comme étant à la base de nombreux jeux mathématiques ou jeux pour les enfants. Ils sont aussi des outils de modélisation cruciaux pour des thématiques variées : en chimie ils servent à décrire des structure cristallines, en logique pure ils sont des outils fondamentaux pour montrer l'indécidabilité des classes de formules du premier ordre définies syntaxiquement (problème de décision de Hilbert), et les pavages sont aussi des modèles de base de la complexité algorithmique. Le premier résultat marquant et fondamental sur les pavages est l'indécidabilité du 'domino problem' c'est à dire du problème de la pavabilité du plan par un ensemble de tuiles donné en entré (1966). Dans la preuve de ce résultat, est introduit un ensemble de tuiles pavant le plan, mais ne pouvant former de pavage périodique, ce qu'on appelle maintenant un ensemble de tuiles apériodiques. Ainsi, avec des règles locales et simples, on peut 'forcer' une structure assez complexe du plan. La question de savoir quels objets complexes on peut avoir avec des pavages a immédiatement été très populaire. Notre équipe a largement contribué à cette étude, en construisant le pavage le plus complexe possible, au sens de la théorie algorithmique de l'information, des pavages complexes résistant aux erreurs, et récemment (2015) un pavage maximal en termes de degrés Turing de ses éléments de structure combinatoire très simple : il est quasipériodique. Ces résultats montrent l'aspect géométrique du calcul, exploitant en particulier une construction de point fixe (à la Kleene) mais où le point fixe est purement géométrique. Le sujet de recherche est donc de combiner d'une part une structure combinatoire simple des pavages obtenus en utilisant différentes notions issues de la théorie des langages et de la théorie combinatoire des pavages, et d'autre part une puissance calculatoire élevée. Il s'agit en d'autres termes d'appréhender le lien entre la simplicité combinatoire des pavages et leur puissance de calcul.

  • Titre traduit

    Tilings and computability : structural simplicity and universality


  • Résumé

    This subject of theoretical computer science is about algorithmic theorie of tileability and combinatorics of tilings. Tilings are very well known as games for kids. They are also powerful tools for modelisation for various fields : inchemistry they are used to describe cristal structure, in pure logic they are fundamental tools to prove the indecidability of classes of first order formulas (Hilbert's decision problem), and tilings are also models for algorithmic complexity. Yhe first important result about tilings is the undecidability of the 'domino problem', which is the problem of plane's tileability by a given tile set (1966). In the proof of this result, a tile set who tiles the plane but only aperiodically is constructed. So, simple local rules can imply complex structure of the plane. To know which complex objects can be produced by tilings was immediately very popular. Our team widely contribute to this question, defining the most complex tiling in the meaning of algorithmic information theory. The goal of the thesis is to combine the simple combinatorial structure of tilings with high computable power.