Sommes fractales de pulses : étude dimensionnelle et multifractale des trajectoires, et simulations

par Guillaume Saes

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Stéphane Jaffard et de Stéphane Seuret.

Thèses en préparation à Paris Est , dans le cadre de MSTIC : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de Analyse harmonique et multifractale (equipe de recherche) depuis le 28-10-2016 .


  • Résumé

    Les deux grandes classes de processus dont l'analyse multifractale a été réalisée sont les processus multiplicatifs (issus des cascades de Mandelbrot) et les processus additifs (processus de Lévy, séries aléatoires d'ondelettes et leurs généralisation). Une classe importante de processus se rattache à cette seconde catégorie: les ``sommes aléatoires de pulses''. Il s'agit de séries aléatoires où l'on somme des translatées-dilatées d'un ``pulse'' qui peut avoir une forme arbitraire. Les paramètres de translation, dilatation et d'amplitude pouvant être aléatoires (ou certains peuvent être reliés entre eux de façon déterministe). Des cas particuliers de ce modèle ont été introduits par Lovejoy et Mandelbrot pour modéliser la pluviométrie en un point donné, puis des extensions ont été proposées par Ciosek-Georges, Taqqu, Mandelbrot,.... Enfin, Y. Demichel, dans sa thèse a étudié certains aspects fractals des trajectoires de tels processus. Certaines propriétés de base de ces processus ont été étudiées par ces auteurs (existence, continuité, intégrabilité, dimension de graphe, régularité globale des trajectoires au sens Besov ou Sobolev); cependant, malgré quelques travaux mathématiques déjà existants, de nombreuses questions sont encore ouvertes. Le but de la thèse sera d'introduire un modèle plus général que ceux qui ont été abordés dans le passé, et d'en effectuer également l'analyse multifractale, c'est à dire déterminer la régularité ponctuelle de ses trajectoires. Celle-ci pourra être prise au sens de la régularité holderienne usuelle quand les trajectoires sont localement bornées, ou au sens de p-exposant dans le cas contraire. On considèrera en particulier comment les résultats dépendent de la régularité du pulse utilisé. On pourra aussi étudier le temps local associé à ces processus. Enfin la thèse contiendra une partie appliquée: simulation des trajectoires, étude du formalisme multifractal et validation numérique. Des extensions en deux variables pourront être effectuées, pour conduire à de nouveaux modèles de textures. Enfin, les questions lièes à des changements de temps multifractal pourront également être abordées: détermination du spectre multifractal de la composée, identification du changement de temps, ...

  • Titre traduit

    Sums fractals of pulse : Dimensional study and multifractal of paths and simulations


  • Résumé

    The multifractal analysis is the mathematical studies of the space which is occupied by the irregularity of object or irregular function. The two main classes of process where the multifractal analysis was realized are the multiplicative processes (from the Mandelbrot cascades) and the addi- tive processes (Lévy process, random wavelet series and their generalization). An important additive process is “random pulses”. These series are random sums of translations and dilatations of an arbitrary form “pulse”. The trans- lation, expansion and amplitude parameters that can be random (or some can be deterministicly related). Special cases of this model were introduced by Lovejoy and Mandelbrot to modelise the precipitations at a given point and further extensions were proposed by Ciosek-Georges, Taqqu, Mandel- brot, .... Finally, Y. Demichel, in his thesis studied some fractal aspects of the trajectories of such processes. Some basic properties of these processes have been studied by these authors (existence, continuity, integrability, graph dimension, global regularity of trajectories in the Besov or Sobolev sense). However, despite some existing mathematical work, many questions are still open. The objective of the thesis will be to introduce a more general model than those that have been studied in the past, and aswell to make the multifractal analysis (i.e. to determine the punctual regularity of its trajectories). This can be taken in the sense of the usual hölderian regularity when the trajectories are locally bounded, or in the sense of p-exponent in the contrary case. In particular, it will be considered how the results depend on the regularity of the pulse used. The local time associated with these processes can also be studied. Finally, the thesis will contain an applied part: simulation of trajectories, study of multifractal formalism and numerical validation. Extensions in two variables can be carried out, leading to new models of textures. Finally, questions related to multifractal time changes can also be addressed: determination of the multifractal spectrum of the composite, identification of the time change, etc.