Mesures de Gibbs p-adiques sur les arbres de Cayley et systèmes dynamiques sur le corps des nombres p-adiques

par Mohd ali khameini bin Ahmad

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Arnaud Le ny et de Lingmin Liao.

Thèses en préparation à Paris Est en cotutelle avec l'Université Islamique Internationale de Malaisie , dans le cadre de MSTIC : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) depuis le 03-10-2016 .


  • Résumé

    Récemment, la théorie de la mesure de Gibbs et Gibbs p-adiques sur les arbres de Cayley a été largement développée (Ganikhodjaev, Georgii, Külske, Khakimov, Mukhamedov, Rozikov, et al). En raison de l'absence de la convexité du corps des nombres p-adiques, l'ensemble des mesures de Gibbs p-adiques pour les modèles de réseau p-adique sur l'arbre de Cayley a une structure complexe. Une telle structure est fortement liée à la structure dynamique des polynômes sur le corps des nombres p-adiques. La recherche sur les systèmes dynamiques p-adiques a été initiée par Herman et Yoccoz et été rapidement développée par de nombreux auteurs (Thiran--Verstegen--Weters, Woodcock--Smart, Benedetto, Rivera-Letelier, Anashin-- Khrennikov ...). Fan et Liao a donné une description détaillée des structures dynamiques des polynômes sur le corps des nombres p-adiques. Dans cette thèse, nous visons à décrire toutes les mesures invariantes de Gibbs p-adiques pour le modèle de Potts sur les arbres de Cayley. À cette fin, nous étudions la location des racines des polynômes quadratiques, cubiques et de degrés supérieurs sur le corps des nombres p-adiques. Nous allons donner les images précises sur le nombre et les locations des racines dans différents sous-domaines (tels que le domain des entiers p-adiques, le domaine des unités p-adiques) du corps des nombres p-adiques. Mukhamedov et Khakimov ont montré la relation entre la mesure de Gibbs p-adique et le comportement dynamique de la fonction de Ising-Potts correspondante. Nous voulons montrer l'immensité de l'ensemble de mesures de Gibbs p-adique sur l'arbre de Cayley d'order 2. Cela conduira à l'étude de la structure dynamique du carré de la transformation fractionnaire linéaire. Nous allons appliquer les résultats obtenus par Fan, Liao et leurs collaborateurs pour analyser ses comportements chaotiques et minimaux. De plus, nous considérons la fonction de Ising-Potts qui est la puissance k-ième de la fonction fractionnaire linéaire. La description complète de la structure dynamique de cette fonction permettra de montrer l'immensité de l'ensemble des mesures de Gibbs p-adiques sur l'arbre de Cayley d'ordre k.

  • Titre traduit

    p-adic Gibbs measures on Cayley trees and related p-adic dynamical systems


  • Résumé

    Recently, the theory of Gibbs and p-adic Gibbs measures on Cayley trees has been extensively developed (Ganikhodjaev, Georgii, Kulske, Khakimov, Mukhamedov, Rozikov, et al). Due to the absence of the convexity of the p-adic fields, the set of p-adic Gibbs measures of p-adic lattice model on the Cayley tree has a complex structure. Such structure is strongly tied up with the dynamical structure of polynomials over the p-adic fields. The research on p-adic dynamical systems was initialed by Herman and Yoccoz and fast developed by many others (Thiran--Verstegen--Weters, Woodcock--Smart, Benedetto, Rivera-Letelier, Anashin--Khrennikov ...). Fan and Liao gave a detailed description of the dynamical structures of the polynomials on the field of p-adic numbers. In this thesis, we aim at describing all the translate invariant p-adic Gibbs measures for Potts model on Cayley trees. To this end, we study the location of the roots of quadratic, trinomial and higher order polynomials over the field of p-adic numbers. We will give the precise pictures of the numbers and locations of the roots in different sub-domains (such as p-adic integers, p-adic units) of the field of the p-adic numbers. Mukhamedov and Khakimov showed the relation between the p-adic Gibbs measure and the dynamical behavior of the corresponding Ising-Potts mapping. We want to show the vastness of the set of p-adic Gibbs measures over the Cayley tree of order 2. This will lead to the study of dynamical structure of the square of a linear fractional transformation. We will apply the results obtained by Fan, Liao and their collaborators to analyse its chaotic and minimal behaviors. Further, we consider the Ising-Potts mapping which is the k-th power of the linear fractional map. The full description of the dynamical structure of such mapping will enable to show the vastness of the set of p-adic Gibbs measures over the Cayley tree of order k.