Sous-variétés legendriennes, familles génératrices et remplissages lagrangiens

par Antoine Ferme

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Frédéric Bourgeois.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Ce projet de thèse concerne l'étude, en géométrie de contact, des sous-variétés legendriennes admettant une famille génératrice. En dimension 2n+1, ce sont des sous-variétés de dimension n tangentes à un champ d'hyperplans (la structure de contact) vivant dans le fibré des 1-jets (la variété de contact ambiante) d'une variété M de dimension n, et obtenus comme lieu critique d'une famille de fonctions sur M (la famille génératrice). Pour n=1, ce sont des nœuds (ou des entrelacs) legendriens. En ajoutant une dimension, on peut obtenir une variété symplectique dont le bord est la variété de contact. On se demande alors s'il existe une sous-variété lagrangienne exacte (où la forme symplectique s'annule identiquement et sa primitive est exacte) qui s'appuie sur la sous-variété legendrienne considérée, ce qu'on appelle un remplissage lagrangien exact. Or dans certains cas l'on sait que l'homologie de contact linéarisée – via le choix d'un morphisme d'algèbre particulier appelé augmentation - interdit l'existence de tels remplissages. Néanmoins, si l'on s'autorise un certain nombre de singularités, il se peut qu'il existe quand même des remplissages « plus généraux ». Les objectifs de ce projet sont d'identifier certaines propriétés de ces remplissages en termes de l'homologie pour familles génératrices – un invariant dérivé de l'homologie de Morse. En effet, l'homologie de contact linéarisée et l'homologie pour familles génératrices donnent les mêmes invariants en dimension 3, et il est attendu que ce phénomène se prolonge en dimension supérieure. L'intérêt de ce point de vue est d'utiliser des constructions géométriques type théorie de Morse sur les familles, et en déduire des constructions de remplissages, ce qui aurait été impossible avec les augmentations, qui sont des objets purement algébriques.

  • Titre traduit

    Legendrian submanifolds, generating families and lagrangian fillings


  • Résumé

    The framework of this Phd research project is contact geometry, and its main objects of study are the legendrian submanifolds which can be obtained by a generating family. In dimension 2n+1, these are submanifolds of dimension n whose tangent spaces are contained in a hyperplane field (the contact structure) on the fibre bundle of 1-jets of a n-manifold M (the ambient contact 2n+1-manifold). These particular legendrian submanifolds are built as critical loci of families of numeric functions defined on M (the generating family). For n=1, one gets legendrian knots (or links). If we add a dimension, we can define a symplectic manifold whose boundary is the ambient contact manifold discussed above. Now, one can ask if there exists an exact lagrangian submanifold (i.e. on which the symplectic form restricts to zero and its antiderivative is exact) whose boundary is the given legendrian submanifold. Such an object is called an exact lagrangian filling. In some cases, the linearized contact homology – obtained with the choice of a morphism of algebra called an augmentation – prohibits the existence of such fillings. However if we relax their definition, allowing some types of singularities, these « more general » fillings could still exist. The goals of this project are to extract some properties of these fillings via the generating families homology – a by-product of Morse homology. Indeed, the linearized contact homology and the generating families homology lead to the same invariants in dimension 3, and one expects that this fact remains true in higher dimensions. The particularity of this approach is to make use of geometric constructions coming from the Morse theory on generating families, and then deduce constructions of fillings. This type of geometric result would have been impossible using only augmentations, which are merely algebraic objets.