Sur les interactions entre ondes et champs cinétiques relativistes.

par Léo Bigorgne

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Jacques Smulevici.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Analyse numérique et équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Le sujet de cette thèse est l'étude théorique de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles présentant un couplage entre équations d'onde et équations cinétiques. Ce type d'équations apparait naturellement dans certains problèmes de physique comme dans le cas de l'étude des plasmas (système de Vlasov-Maxwell) ou en relativité générale (système d'Einstein-Vlasov). De nombreux résultats concernant les équations d'ondes non-linéaires exploitent de manière importante le caractère géométrique de l'équation des ondes. A titre d'exemple, citons les travaux de Klainerman sur la condition nulle et la méthode dîte des champs de vecteurs (cf. [2]). Récemment, cette méthode a été étendue aux équations cinétiques relativistes (voir [1]). Pour l'équations des ondes, il existe de nombreuses variantes et applications de ces méthodes géométriques et le but principal de cette thèse sera de développer des outils analogues pour les équations cinétiques relativistes, pour pouvoir, à terme, appliquer ces méthodes aux systèmes mentionnés précédemment. Plus précisément, le premier problème qui sera étudié concerne des estimations de décroissance ponctuelle pour les moyennes en vitesse des champs cinétiques relativistes massifs, similaires aux estimations de Georgiev pour les champs de Klein-Gordon (cf [4]). Les estimations obtenues dans [1] suivent les résultats classiques de Klainerman concernant les estimations de décroissances pour les champs de Klein- Gordon. Cette méthode se fonde sur un feuillage par des hyperboloïdes de l'espace-temps. Il est bien connu que l'utilisation de ce feuilletage complique considérablement l'application de telles estimées à des problèmes non-linéaires où les champs massifs interagissent avec des champs sans masse. De plus, l'utilisation de ce feuilletage nécessite soit de commencer avec des données sur un hyperboloïde, soit de rajouter une hypothèse de support compact sur les données initiales. Les estimations de Georgiev obtenues dans [2] nécessitent d'utiliser des norme plus complexes que les normes d'énergie de Klainerman mais se fondent sur un feuilletage classique par les surfaces de niveaux d'une fonction de temps cartésienne. L'analogue pour les champs cinétiques serait très utile pour de futures applications non-linéaires. Dans un second temps, l'auteur de la thèse pourra étudier plusieurs problèmes non-linéaires à l'aide des méthodes de champs de vecteurs. A titre d'exemple, citons l'étude des solutions pour de petites données pour le système de Vlasov-Maxwell, ainsi que l'étude de systèmes couplées ondes/champs cinétiques pour lesquelles l'analogue de la condition nulle des ondes linéaires n'est pas vérifiée. Dans ce dernier cas, on s'attend (en dimension 3), en comparaison avec le résultat de F. John pour les ondes non-linéaires, à ce que la solution triviale ne soit pas stable par perturbation. [1] D. Fajman, J. Joudioux, J. Smulevici A vector field method for relativistic transport equations with applications, arXiv:1510.04939 [2] Klainerman, Sergiu Uniform decay estimates and the Lorentz invariance of the classical wave equation. Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985) [3] Klainerman, Sergiu Remark on the asymptotic behavior of the Klein-Gordon equation in R(n+1). Comm. Pure Appl. Math. 46 (1993) [4] Georgiev, Vladimir Decay estimates for the Klein-Gordon equation. Comm. Partial Differential Equations 17 (1992), no. 7-8,

  • Titre traduit

    voir le projet de thèse.


  • Résumé

    Voir le projet de thèse.