Profil isopérimétrique dans des milieux aléatoires

par Gabriel Pallier

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Pierre Pansu.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Topologie et Dynamique (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Il s'agit dans cette thèse d'étendre les résultats connus dans deux directions. En premier lieu, il s'agit de généraliser l'étude du problème isopérimétrique des métriques périodiques effectuée par Pansu aux métriques quasi-périodiques. Celles-ci sont portée sur les orbites pour des actions par translations de Rn préservant une mesure de probabilité, libres et ergodiques, sur un tore riemannien. Selon les résultats qu'elle apporte, cette étude pourrait donner des renseignements sur la forme des quasi-cristaux. La seconde direction d'étude consiste à remplacer le groupe agissant Rn par des groupes de Lie nilpotents gradués. Ce cadre est à la fois plus vaste et plus restrictif, car il concerne une classe plus large de groupes mais ceux-ci admettent moins d'actions adéquates en général. Des méthodes différentes devront être employées, notamment parce que les outils de théorie géométrique de la mesure demanderont des aménagements ; par ailleurs, il est possible que l'unicité de la forme limite soit perdue.

  • Titre traduit

    Isoperimetric Profile in Random Media


  • Résumé

    This PhD project is twofold. The first aim is to extend Pansu's result on the isoperimetric profile of periodic metrics in order to encompass quasi-periodic metrics, which are generated by ergodic group actions of abelian Lie groups and simulate a random medium. If it does exist, the asymptotic shape of isoperimetric domains in this setting might be linked to the quasi-crystal sets introduced by Meyer. The second goal is to generalize the class of operating Lie groups from abelian to nilpotent. The isoperimetric problem on Carnot Groups (especially Heisenberg groups) though not completely settled, has been extensively studied from numerous viewpoints and extremal shapes in restrictive classes are understood. There, different techniques will be needed ; one expects an asymptotic expansion of the profile and limits for extremal shapes as well, though unicity might be lost.