Algèbres de Hecke carquois et algèbres de Yokonuma–Hecke

par Salim Rostam

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Maria Chlouveraki et de Nicolas Jacon.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec LMV - Laboratoire de Mathématiques de Versailles (laboratoire) , Algèbre et géométrie (LMV) (equipe de recherche) et de Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Le doctorat s'articulera autour de quatre axes principaux. Tout d'abord, en s'inspirant de travaux de Brundan et Kleshchev prouvant un isomorphisme entre certaines algèbres de Iwahori–Hecke et certaines algèbres de Hecke carquois, les liens entre les algèbres de Yokonuma–Hecke et certaines algèbres de Hecke carquois seront explorés. Un deuxième objectif sera d'obtenir une description explicite des éléments de Schur pour les algèbres de Hecke carquois, éléments qui permettent d'étudier la théorie des représentations modulaires de l'algèbre. Des questions autours de nouvelles applications concernant les algèbres de Yokonuma–Hecke seront également étudiées, par exemple savoir si ces algèbres peuvent être utilisées pour obtenir de nouveaux résultats en théorie des représentations des groupes réductifs finis ou encore si les nouveaux invariants construits à l'aide de ces algèbres permettent de différencier des nœuds que l'on ne pouvait pas distinguer jusqu'à présent. Finalement, le caractère homogène des bases de Kazhdan–Lusztig vis-à-vis de la graduation induite par l'isomorphisme de Brundan et Kleshchev sera étudié, en vue d'une théorie de Kazhdan–Lusztig graduée.

  • Titre traduit

    Quiver Hecke algebras and Yokonuma–Hecke algebras.


  • Résumé

    The Ph. D. will focus on four main points. First of all, given some works of Brundan and Kleshchev about an isomorphism between some Iwahori–Hecke algebras and some quiver Hecke algebras, we will explore links between Yokonuma–Hecke algebras and some quiver Hecke algebras. A second objective will be to get an explicit description of Schur elements for quiver Hecke algebras, which elements are useful to study the theory of modular representations of these algebras. We will also look for new applications of Yokonuma–Hecke algebras, such as new results about representation theory of finite reductive groups, or new knot invariants which allows to distinguish between knots whose differences were up to now not caught by theory. Finally, we shall study the homogeneous nature of Kazhdan–Lusztig basis in Iwahori–Hecke algebras in respect to the Brundan and Kleshchev's isomorphism, which carries the graded structure of quiver Hecke algebras.