Fonctions analytiques et signaux asymptotiques pour la transformée en ondelettes

Analytic functions and asymptotic signals for the wavelet transform

• Auteur / Autrice : Nicolas Vacca
• Direction : Pierre Argoul
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Génie Civil
• Date : Soutenance le 29/04/2022
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Français des Sciences et Technologies des Transports, de l'Aménagement et des réseaux. Laboratoire Expérimentation et modélisation pour le génie civil et urbain (Marne-la-Vallée) - Institut Français des Sciences et Technologies des Transports, de l'Aménagement et des réseaux. Laboratoire Instrumentation, Simulation et Informatique Scientifique (Marne-la-Vallée)
• Jury : Président / Présidente : Gaël Chevallier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Argoul, Claude-Henri Lamarque, Roger Serra, Anne-Marie Duval, Luigi Garibaldi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Claude-Henri Lamarque, Roger Serra

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations intégrales -- Théorie asymptotique

Fourier, Séries de

Fourier, Transformations de

Ondelettes

Mots clés libres

Ondelettes

Identification

Analytique

Asymptotique

Mécanique

Asymptotic

Wavelets

Analytic

Mechanics

Identification

Résumé

L'expression analytique d'une transformation intégrale d'un signal de longueur finie est souvent complexe à écrire. Pourtant, dans le cas d'un signal harmonique et de sa transformée de Fourier, l'extension du domaine d'intégration à l'ensemble des réels permet une écriture simplifiée dans le domaine de Fourier par le biais de la distribution de Dirac. L'idée de la thèse est d'examiner le cas de signaux modulés en amplitude et en phase, typiquement lorsque l'amplitude est décroissante à droite mais que son extension à gauche n'a pas d'enveloppe bornée, et qu'alors l'existence de l'intégrale considérée n'est plus forcément assurée au sens usuel. C'est ainsi le cas de la transformation en ondelettes avec une ondelette mère de Cauchy-Paul d'une réponse transitoire d'un oscillateur linéaire, dont l'enveloppe de la fonction mère est insuffisamment décroissante à l'infini pour écraser une enveloppe exponentielle : l'intégrande de la convolution n'est pas bornée à gauche. L'objectif de ce travail est de donner une expression analytique de telles intégrales, utiles par exemple pour identifier l'amortissement d'un système mécanique oscillant par une transformation en ondelettes de sa réponse libre. Pour cela, nous introduisons une forme bilinéaire qui tient lieu de définition de l'intégrale, à ceci près qu'il n'est plus question de sa convergence mais d'analyticité. Nous déduisons alors la notion d'une distribution de Dirac d'argument complexe, qui est la transformée de Fourier de l'exponentielle complexe.On propose ensuite une nouvelle définition des signaux modulés en amplitude et en phase dits g{asymptotiques} (par rapport à celle donnée dans l'ouvrage de B. Torrésani (Analyse continue par ondelettes. CNRS Editions / EDP Sciences, 1995, Savoirs actuels / Série Physique, 978-2-271-05364-0) associée à un « flou » convenable qui permet de les travailler à la manière des exponentielles complexes. Nous en déduisons quelques résultats sur la recherche d'arêtes d'une transformée en ondelettes de ces signaux asymptotiques, en s'intéressant à la question de la séparation de composantes dans le cas d'une somme de tels signaux. Enfin, nous proposons une définition de l'énergie mécanique d'un système mécanique à partir des arêtes de sa réponse libre, que nous avons appliquée sur les cas réels des réponses vibratoires d'une maquette en béton armé soumise à un projectile et celles d'un mur en maçonnerie soumis à des impacts noyés dans une excitation ambiante

A closed-form expression for the integral transform of a finite length signal is often difficult to obtain. Still, for sinusoids, extending the integral over all real numbers allows for a short approximation through the Dirac distribution in the frequency domain. The topic of this work is the study of modulated signals, and specifically those that are decreasing on the right but whose extension is non finite on the left, which may lead to a non existing extended integral in the usual sense. That is particularly explicit with the wavelet transform of a linearly damped harmonic signal using a Cauchy wavelet, whose decay is insufficient to counteract the exponential growth : the integrand is unbounded on the left.This work is to give analytic expressions to such integrals, which may come up as part of damping identification of a mechanical oscillating system through the wavelet transform of its free decay response.To this aim, we introduce a bilinear form that will serve as the definition of the integral, yet with no reference to its absolute convergence, which is replaced by an analyticity condition. From that we deduce the notion of a Dirac distribution of complex argument, which is the Fourier transform of the complex frequency exponential. We then give a new definition of modulated signals called "asymptotic" (as compared to B. Torrésani's in Analyse continue par ondelettes. CNRS Editions / EDP Sciences, 1995, Savoirs actuels / Série Physique, 978-2-271-05364-0.) together with a suitable "blur" that transfers to them some characteristics of complex frequency exponentials. We infer some results about the ridges of the wavelet transform of those asymptotic signals, including the extraction of individual components from a sum of such signals. We end this work with an attempt to define the mechanical energy of a system through the ridges of its free decay response, which was put into practice on real experimental data