variétés globalement hyperboliques anti-de Sitter à bords convexes

par Hicham Labeni

Projet de thèse en Mathématiques - EM2C

Sous la direction de Francois Fillastre.

Thèses en préparation à Cergy-Pontoise , dans le cadre de ED EM2P - Economie, Management, Mathématiques et Physique , en partenariat avec Analyse Géometrie Modélisation (laboratoire) depuis le 01-10-2016 .


  • Résumé

    Une variété hyperbolique (i.e. de courbure -1) de dimension 3 est quasi-Fuchsienne si elle est complète et de la forme SxR où S est une surface compact de genre >1. On a le résultat suivant (Labourie, 1992, Schlenker 2006): Soit g,h deux métriques (riemanniennes) à courbure >-1 sur S. Alors il existe une unique variété quasi fuchsienne à bord dont les bords sont convexes et isométriques à g et h. (Il s'agit d'une extension du problème classique de Weyl dans l'espace euclidien.) En utilisant un argument d'approximation, on obtient un théorème du à Slutskiy: Soit g,h deux métriques à courbure >-1 sur S au sens d'Alexandrov. Alors il existe une variété quasi fuchsienne à bord dont les bords sont convexes et isométriques à g et h. L'espace anti de Sitter (en abrégé AdS) est une espace modèle lorentzien de courbure -1. Les variétés globalement hyperboliques (en abrégé, GH) sont les analogues AdS des variétés quasi-Fuchsiennes. Un résultat récent de Tamburelli donne l'analogue AdS du théorème de Labourie : Soit g,h deux métriques de courbure <-1 sur S. Alors il exists une variété GH AdS à bord convexe avec g et h les métriques sur le bord (ici le bord est lisse). On se pose alors naturellement la question suivante : Soit g,h deux métriques de courbure <-1 au sens d'Alexandrov sur S. Alors il existe une variété GH AdS à bord convexe avec g et h les métriques sur le bord (ici le bord est un convexe quelconque).

  • Titre traduit

    globally hyperbolic anti-de Sitter manifolds with convex boundary


  • Résumé

    An hyperbolic manifold (i.e with curvature -1) of dimension 3 is said to be quasi-fuchsian if it is complete and with topology SxR where S is a compact surface of genus >1. we have the following result (Labourie,1992, Schlenker 2006): Let g,h two (Riemannian) metrics of curvature >-1 on S then there exist a unique quasi-fuchsian manifold with convex boundary, with boundary isometric to g and h. (it is an extention of the classic problem of Weyl in the euclidian space ) Using an approximation argument, we obtain the Slutskiy's theorem: Let g,h be two metrics , with curvatur > -1 on S in the sense of Alexdrov. So there exist a quasi-Fuschian manifold with convex boundary, with boundary isometric to g and h. The anti-de Sitter space (ADS) is a lorentzian model space with curvature -1. The globally hyperbolic (GH) ones are the AdS analogues of quasi-fuschian manifolds. A recent result of Tamburelli gives the AdS analogue to Labourie's theorem. Let g,h two metrics with curvature <-1 on S. Then there exists a GH AdS manifold with convex smooth boundary isometric to g and h. The following question naturally arises: Let g,h be two metrics of curvature <-1 in the Alesandrov sense. Does it exists a GH AdS manifold with convex boundary isometric to g and h?