Contrôle des EDPs dispersives

par Hui Zhu

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Nicolas Burq et de Thomas Alazard.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Analyse numérique et équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Le projet de thèse concerne le contrôle des EDP dans plusieurs cadres: D'abord, dans la continuite du mémoire de M2, on se propose d'étudier la controlabilité exacte et la stabilisation des ondes et de Schrödinger dans des cadres très peu réguliers. Si les stabilisateurs sont réguliers, cette question est bien comprise pour les ondes, et il est connu que la condition de contrôle géométrique est nécessaire et suffisant pour la stabilisation (ou le contrôle). Pour Schrödinger, la situation est bien moins comprise. On connait seule- ment des conditions suffisantes ou des conditions nécessaires, dans des cadres géométriques particuliers. L'objet de cette partie de la thèse sera d'une part de comprendre d'autres situations géométriques ou un résultat (non trivial) est atteignable, et d'autre part d'intégrer à ce cadre des géométries peu régulières. Un deuxième objectif de la thèse sera de comprendre la contrôlabilité exacte d'équations quasi-linéaires. Le modèle que nous avons en tête est celui des ondes de surfaces pour lequel un résultat en dimension 2 d'espace (pour lequel on se ramène à une EDP en dimension 1) est connu depuis les travaux récents d'Alazard-Baldi-Han Kwan. Ici on se propose de généraliser (au moins par- tiellement) ce résultat au cas de la dimension d'espace 3. Plus généralement, une question naturelle est de comprendre quels sont les résultats ”raisonnables” sur la question de la controlabilité exacte de systèmes d'EDP quasi-linéaires en dimension 1 et en dimensions supérieures.

  • Titre traduit

    Control of dispersive PDEs


  • Résumé

    The project of the thesis concerns the control of PDEs in several settings. First, as a continuation of the mémoire of M2, the exact controlability and the stabilization of the waves and the Schrödinger will be studied in the non-regular settings. If the stablizers are regular, the problem has been well understood. And it is known that the condition of the geometric control is necessary and sufficient for the stabilization (or the control). For Schrödinger, the situation is less understood. We only know the sufficient conditions or the necessary conditions, for some particular geometries. The gorl of this part of the thesis is to at one hand understand other geometric situations where results (non trivial) are attaindable; and on the other hand study the setting of non-regular geometries. The second object of the thesis is to understand the controlability exact of quasi-linear equations. For this we propose the model of surface waves (water waves), for which a result of dimension 2 has been known by the recent work of Alazard-Baldi-Han Kwan. The goal is to generalize, at least partially, this result to dimension 3; or more generally, to understand the question that which are the reasonable results for the controlability of quasi-linear PDEs.