Variétés de Shimura, Cohomologie motivique et valeurs spéciales des fonctions L

par Yoël Dadoun

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Olivier Fouquet.

Thèses en préparation à Paris Saclay en cotutelle avec l'Université de Zurich (UZH) , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Arithmétique et géométrie algébrique (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Dans l'article (Beilinson, 1984), A.Beilinson a formulé une conjecture qui relie les valeurs spéciales des motifs à certaines classes de cohomologie motivique. Il est remarquable que pour les cas des motifs associés aux formes modulaires, aux produits de Rankin-Selberg de formes modulaires et des variétés de Shimura symplectiques, les classes de cohomologie motivique en question proviennent du bord de la variété de Shimura (travaux de Beilinson et Kato, Lei-Loeffler-Zerbes et Lemma respectivement). Dans le cas des formes modulaires, l'image de ces classes par l'application exponentielle duale de Bloch-Kato est étroitement liée à la fonction L p-adique qui interpole p-adiquement les valeurs spéciales de la fonction L de la forme modulaire tordue par des caractères finis aux points critiques au sens de Deligne. Comme on le sait depuis (Mazur-Tate-Teitelbaum,1986), l'interpolation de la fonction L p-adique fait intervenir un facteur local en p si bien que la fonction L p-adique peut s'annuler même lorsque la fonction L usuelle ne s'annule pas. Dans ce cas, la dérivée première de la fonction L p-adique est égale à la valeur spéciale de la fonction L usuelle multipliée par un terme de correction : l'invariant L. Kobayashi et Kato-Kurihara-Tsuji ont démontré que les propriétés de l'exponentielle duale et des classes de cohomologie motivique permettait de retrouver cet invariant L et de calculer sa valeur en terme de la filtration de Hodge p-adique sur la représentation galoisienne locale en p associée à le forme modulaire et Breuil a montré qu'il pouvait se retrouver en étudiant la complétion unitaire universelle de la représentation automorphe associée. L'objectif du travail est d'étudier si un phénomène analogue se produit pour le groupe GSp4, et plus précisément d'étudier les questions suivantes. 1) A quelle condition locale en p portant sur la représentation galoisienne ou la représentation automorphe associée, l'interpolation p-adique des valeurs spéciales d'une fonction L pour GSp4 admet-elle un zéro exceptionnel ? 2) Existe-t-il une notion d'invariant L dans ces conditions (en terme de théorie de Hodge p-adique et de théorie des représentations) ? 3) L'image des classes de cohomologie motivique venant du bord de la variété de Shimura pour GSp4 par l'application exponentielle permet-elle de calculer cet invariant ? Une question proche et étroitement liée à celle-ci est la suivante. Une autre source de classes de cohomologie liée aux valeurs spéciales des fonctions L est donnée par les cycles spéciaux sur une variété de Shimura. Lorsque la variété en question est une courbe modulaire ou plus généralement la variété associée au groupe des unités d'une algèbre de quaternion déployée en une unique place infinie d'un corps de nombres totalement réel, ces classes proviennent des points CM et sont reliées aux valeurs spéciales par la formule de Gross-Zagier et ses généralisations ou bien plus algébriquement par la théorie des systèmes d'Euler. Récemment, Jetchev a construit de tels cycles sur les variétés de Shimura pour le groupe réductif U(2,1)xU(1,1). Par analogie avec (Howard, 2007), la question suivante se pose naturellement : 1) Les cycles ainsi construits sont-ils compatibles avec le changement de niveau en p et, si oui, s'étendent-ils à une famille de cycles paramétrées par une algèbre de Hecke ? 2) Peut-on utiliser cette famille pour interpoler p-adiquement les valeurs spéciales des fonctions L des représentations automorphes intervenant dans la cohomologie complétée des variétés de Shimura pour U(2,1)xU(1,1) ?

  • Titre traduit

    Shimura varieties, motivic cohomology and special values of L functions.


  • Résumé

    En cours de traduction