Comportement en grand temps et intégrabilité de certaines équations dispersives sur l'espace de Hardy

Long time behavior and integrability of some dispersive equations on the Hardy space

• Auteur / Autrice : Ruoci Sun
• Direction : Patrick Gérard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 26/06/2020
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Sandrine Grellier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Erwan Faou, Didier Pilod, Oana Pocovnicu, Frédéric Rousset
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Erwan Faou, Didier Pilod

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hardy, Espaces de

Tubes à ondes progressives

Principe de concentration-compacité

Systèmes intégrables

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Équation de Schrödinger non linéaire

Équation de Benjamin-Ono

Projecteur de Szégö

Coordonnées d'action-angle

Espace de Hardy

Onde progressive

Non linear Schrödinger equation

Benjamin-Ono equation

Szégö projector

Action-angle coordinates

Hardy space

Traveling wave

Résumé

On s'intéresse dans cette thèse à trois modèles d'équations hamiltoniennes dispersives non linéaires : l'équation de Schrödinger cubique défocalisante sur le cercle, filtrée par le projecteur de Szegö, qui enlève tous les modes de Fourier strictement négatifs (NLS--Szegö cubique), l'équation de Schrödinger quintique focalisante filtrée par le projecteur de Szegö sur la droite (NLS--Szegö quintique) et l'équation de Benjamin--Ono (BO) sur la droite. Comme pour les deux modèles précédents, l'équation de BO peut encore s'écrire sous la forme d'une équation de Schrödinger quadratique filtrée par le projecteur de Szegö. Ces trois modèles nous donnent l'occasion d'étudier les propriétés qualitatives de certaines ondes progressives, le phénomène de croissance des normes de Sobolev, le phénomène de diffusion non linéaire et certaines propriétés d'intégrabilité de systèmes dynamiques hamiltoniens. Le but de cette thèse est de comprendre l'influence des opérateurs de Szegö (non locaux) sur les équations de type Schrödinger, et d'adapter les outils liés à l'espace de Hardy sur le cercle et sur la droite. On applique aussi la méthode de forme normale de Birkhoff, l'argument de concentration--compacité, qui est précisé à travers le théorème de d'ecomposition en profils, et la transformée spectrale inverse pour résoudre ces problèmes. Dans le troisième modèle, la théorie de l'intégrabilité permet de faire le lien avec certains aspects algébriques et géométriques.

We are interested in three non linear dispersive Hamiltonian equations: the defocusing cubic Schrödinger equation filtered by the Szegö projector on the torus that cancels every negative Fourier modes, leading to the cubic NLS--Szegö equation on the torus; the focusing quintic Schrödinger equation, which is filtered by the Szegö projector on the line, leading to the quintic NLS--Szegö equation on the line and the Benjamin--Ono (BO) equation on the line. Similarly to the other two models, the BO equation on the line can be written as a quadratic Schrödinger-type equation that is filtered by the Szegö projector on the line. These three models allow us to study their qualitative properties of some traveling waves, the phenomenon of the growth of Sobolev norms, the phenomenon of non linear scattering and some properties about the complete integrability of Hamiltonian dynamical systems. The goal of this thesis is to investigate the influence of the Szegö projector on some one-dimensional Schrödinger-type equations and to adapt the tools of the Hardy space on the torus and on the line. We also use the Birkhoff normal form transform, the concentration--compactness argument, refined as the profile decomposition theorem, and the inverse spectral transform in order to solve these problems. In the third model, the integrability theory allows to establish the connection with some algebraic and geometric aspects.