Filtrage de l'équation de Schrödinger non linéaire intégrable

par Ruoci Sun

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Patrick Gerard.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Analyse numérique et équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Ce projet de thèse concerne la recherche de solutions de type turbulent dans des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes. Elle se fonde sur les deux résultats suivants : 1) D'une part, au début des années 1970, V. Zakharov et A. Shabat ont établi que l'équation de Schrödinger non linéaire cubique en une dimension d'espace admettait une structure de paire de Lax, qui entraîne que toute solution régulière de cette équation conserve toutes ses dérivées bornées en grand temps. Cette propriété est donc contraire au phénomène de turbulence d'ondes couramment observé en physique et dans les simulations numériques pour des équations voisines. 2) D'autre part, P. Gérard et S. Grellier ont montré, à travers l'exemple de l'équation de Szegö cubique, que le filtrage des modes de Fourier positifs pouvait accélérer la transition vers les hautes fréquences dans une équation d'évolution hamiltonienne, menant ainsi à une turbulence d'ondes générique. Le but de cette thèse est d'étudier comment ce même filtrage affecte la dynamique de l'équation de Schrödinger non linéaire cubique sur le cercle. Dans une première partie, on établira l'existence de la dynamique de cette nouvelle équation ainsi que des estimations polynomiales de type Bourgain pour les normes de Sobolev en grand temps. Ensuite, on étudiera comment l'analyse des opérateurs de Hankel introduite par Gérard-Grellier peut être adaptée à ce modèle.

  • Titre traduit

    Filtrage de l'équation de Schrödinger non linéaire intégrable


  • Résumé

    This PhD project deals with wave turbulence in Hamiltonian PDEs. It is based on the following two results : 1) On the one hand, in early seventies, V. Zakharov and A. Shabat established that the cubic nonlinear Schrödoinger equation in one space dimensoion admits a Lax pair structure, which implies that every smooth solution has all its derivatives bounded in the large time regime. This property is thus opposite to the wave turbulence phenomenon usually observed in physics for similar equations. 2) On the other hand, through the example of the cubic Szegö equation, P. Gérard and S. Grellier have shown that filtering the positive Fourier modes could accelerate the transition to high frequencies in a Hamiltonian evolution PDE, leading to generic wave turbulence. The goal of this thesis is to study how the same filtering operation affects the dynamics of cubic NLS on the circle. A first part will be devoted to establishing the existence of dynamics and polynomial estimates of Bourgain type for Sobolev norms in the long time regime. Then, will be studied the possibility of adapting the Gérard-Grellier analysis of Hankel operators to this model.