Limites d'ensembles quasiminimaux et existence d'ensembles minimaux sous contraintes topologiques
Auteur / Autrice : | Camille Labourie |
Direction : | Guy David |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques fondamentales |
Date : | Soutenance le 06/01/2020 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) |
référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Benoît Merlet |
Examinateurs / Examinatrices : Thierry De Pauw, Guido De Philippis, Blanche Buet, Antoine Lemenant, Antonio De Rosa | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry De Pauw, Guido De Philippis |
Mots clés
Résumé
Au dix-neuvième siècle, Joseph Plateau a décrit la disposition géométrique des films de savons. Leur forme s'explique par leur tendance à minimiser leur aire pour atteindre une position d'équilibre. Les mathématiciens ont abstrait le concept de «surface d'aire minimale s'appuyant sur un bord» et ont nommé le problème de minimisation correspondant, «problème de Plateau». Il fait l'objet de différentes formulations qui correspondent à autant de façons de définir la classe des «surfaces bordées par une frontière fixée» et «l'aire» à minimiser. Dans cette thèse, on généralise aux suites quasiminimisantes, la limite faible de suites minimisantes introduite par De Lellis, De Philippis, De Rosa, Ghiraldin et Maggi. On montre qu'une limite faible d'ensembles quasiminimaux est quasiminimal. Ce résultat est analogue au théorème de passage à la limite de David pour la convergence de Hausdorff locale. Notre démonstration est inspirée par celle de David tout en étant plus simple. On déduit une méthode directe pour prouver l'existence de solutions à divers problèmes de Plateau, même avec une frontière libre. On l'applique ensuite à deux variantes du problème de Reifenberg (frontière libre ou fixe) pour tous les groupes de coefficient. D'autre part, on propose une structure pour construire des projections de Federer-Fleming ainsi qu'une nouvelle estimation sur le choix des centres de projection.