Nouvelles démarches de réduction de modèles pour le traitement des problèmes à très grand nombre de paramètres

par Charles Paillet

Projet de thèse en Mécanique des solides

Sous la direction de David Néron et de Pierre Ladeveze.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Sciences mécaniques et énergétiques, matériaux, géosciences , en partenariat avec LMT - Laboratoire de mécanique et de technologie (laboratoire) et de Ecole normale supérieure Paris-Saclay (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2016 .


  • Résumé

    Alors que la simulation numérique prend aujourd'hui une place essentielle dans de nombreuses branches de l'ingénierie, les évolutions incroyables des moyens de calculs peinent à compenser la complexité croissante des modèles que les ingénieurs sont amenés à traiter. Dans ce contexte, les modèles réduits sont de véritables outils d'aide à la décision car ils permettent, une fois construits, d'évaluer un très grand nombre de scénarios en temps quasi réel. Ces outils pourraient dans le futur révolutionner les démarches de conception en permettant un dimensionnement simple, rapide et au plus proche de la physique. En particulier, la méthode PGD (Proper Generalized Decomposition) initée au LMT a connu de très nombreux développements (problèmes non linéaires, multiéchelles, multiphysiques...) et est maintenant complètement mature pour certaines classes de problèmes mécaniques, et conduit à des gains en temps CPU pouvant atteindre plusieurs ordres de grandeur. Malheureusement, l'essor de ces modèles réduits est actuellement freiné par la difficulté à les calculer lorsque le nombre de paramètres à prendre en compte augmente. Toutes les techniques de réduction de modèles actuelles (PGD comprise) peinent à traiter des problèmes à très grand nombre de paramètres (la limite actuelle tourne autour de la quinzaine de paramètres…), ce qui constitue un verrou scientifique majeur pour l'essor de ces techniques. L'objectif de cette thèse est une refonte de la méthode PGD et la mise en place de méthodes de calcul radicalement différentes, qui devraient permettre le traitement d'exemples à très grand nombre de paramètres (plusieurs centaines, voire milliers). Les ingrédients de base sont tout d'abord une revisite de la structure de données de la PGD, permettant une prise en compte des aspects paramétriques à l'échelle même de chacun des éléments du maillage. Ensuite, les méthodes classiques de génération d'un modèle réduit (Galerkin, Petrov-Galerkin, minimisation…), qui ne permettent pas le traitement de grands nombres de paramètres, seront complétées par de nouvelles approches itératives avec conditionneur. Pour cela, une vision multiéchelle des paramètres sera introduite afin de séparer l'influence locale et l'influence à grande distance de ceux-ci. Le calcul du modèle réduit se fera donc à deux niveaux en mettant en jeu des méthodes adaptées à chacun des niveaux. Cette thèse, qui porte sur les fondements de la technique PGD, sera tout d'abord développée sur des exemples académiques, mais elle devrait ouvrir la voie à de très nombreuses applications dans le futur en permettant d'envisager des exploitations inédites de l'approche, notamment en précalculant des modèles réduits extrêmement riches puisque portant sur un très grand nombre de paramètres.

  • Titre traduit

    New model order reduction methods for problems with a high number of parameters


  • Résumé

    Numerical simulation is nowadays a major tool in a large number of engineering fields. Nevertheless, even the recent incredible improvements of the computational power can hardly compensate the increasing complexity of the models used by engineers. In this context, Reduced Order Models (ROM) can be major decision-maker tools because, once they have been computed, they can be used to evaluate a very large number of test cases in a duration close to real time. They could be widely used in the future of mechanical design, as they are fast, simple and closely related to the physics behind the models. The PGD (Proper Generalized Decomposition) in particular, is a method introduced at the LMT which has been adapted to many cases (non-linear problems, multiscale, multiphysics…). It is now mature for a large range of mechanical problems and leads to savings of CPU time reaching several orders of magnitude. Unfortunately, it is currently difficult to build ROM with an increasing number of parameters. All the actual model reduction technics (including the PGD) can hardly solve problems with a high number of parameters (the current limit is about fifteen parameters…). It is a major barrier to a larger development of these methods. This PhD thesis aims at increasing the number of parameters taken into account by a reduced model. Hundreds or even thousands of parameters will be integrated thanks to the original methods that will be developed. Two major changes will be applied to the classical PGD technic. On a FEM basis, the structure of the data associated with the PGD will be improved to describe the parameters at the scale of each element. Furthermore, the classical ROM algorithms (Galerkin, Petrov-Galerkin, minimisation…), which are not suited for highest number of parameters, will be completed by new iterative methods inspired by the preconditioned conjugate gradient algorithm. This will be achieved by introducing a multiscale description of the parameters, to separate their local influence from their "long distance" effect. Thus, the ROM will be computed at two different levels, each associated with an adapted resolution method. This thesis focus on the founding principles of the PGD technique. At first, academic examples will be developed, but this work should lead to an extensive number of applications which will contribute to unprecedented possibilities: in particular, exceptionally rich reduced models will be computed, taking a considerable number of parameters into account.