Aspects combinatoires des motifs linéaires en géométrie discrète.

par Daniel Khoshnoudirad

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Hugues Talbot.

Thèses en préparation à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec LIGM - Laboratoire d'informatique Gaspard-Monge (laboratoire) et de A3IS - Algorithme, Architecture, Analyse et Synthèse d'Image (equipe de recherche) depuis le 22-04-2016 .


  • Résumé

    La Géométrie Discrète des motifs linéaires (segments discrets et morceaux de plans discrets notamment) est un domaine de l'Informatique en plein essor, objet de nombreuses recherches mathématiques ces dernières années. Mes travaux de recherche s'inscrivent dans ce cadre. Plus précisément, j'ai focalisé mes recherches sur les diagrammes de Farey, afin d'étudier les stratégies existantes pour approcher le cardinal de l'ensemble des (m,n)-cubes (ou morceaux de plans discrets), et ouvrir de nouvelles perspectives d'encadrement : en effet, actuellement , le meilleur minorant connu est un polynôme homogène de degré 6, alors que le meilleur majorant connu est un polynôme homogène de degré 8. Il y a donc beaucoup à faire pour faire coïncider l'ordre de ces deux bornes. Nous proposons également une généralisation en 3 dimensions des diagrammes de Farey, avec pour perspective l'étude combinatoire approfondie de l'ensemble des pré-images des (m,n)-cubes, afin d'obtenir une égalité sur le nombre de (m,n)-cubes. Dans cette thèse de Doctorat , nos recherches appliquées à l'Informatique, font appel à divers domaines des Mathématiques : Combinatoire, Théorie des Nombres (Élémentaire, Analytique et Combinatoire), Théorie des Graphes notamment. Les résultats les plus significatifs sont l'obtention d'une formule exacte pour le cardinal des droites de Farey d'ordre (m,n), et le comportement asymptotique de cette quantité. Nous avons également obtenu une borne inférieure non triviale pour le cardinal de l'ensemble des sommets de Farey d'ordre (m,n). Enfin, nous avons proposé une majoration du nombre de (m,n)-cubes par le nombre de composantes connexes obtenues par tracé des plans de Farey d'ordre (m,n,1). Pour chacun de ces résultats, nous avons donné les applications directes en Géométrie Discrète (Informatique).

  • Titre traduit

    Combinatorial aspects of the linear patterns in discrete geometry.


  • Résumé

    Discrete Geometry of linear patterns (discrete segments and pieces of discrete planes in particular) is an area of ​​Computer Science; subject of numerous mathematical research in recent years. My research work is part of this framework. Specifically, I focused my research on the Farey diagrams, to investigate existing strategies for approaching the cardinal of all (m, n) -cubes (or pieces of discrete planes), and open new bounding prospects: Indeed, currently, the best known lower bound is a homogeneous polynomial of degree 6, while the best known upper bound is a homogeneous polynomial of degree 8. So there is much to do to make match the order of these two terms. We also propose a 3D-generalization of the Farey diagrams, with the goal of deepening the combinatorial study of all preimages of the (m, n) -cubes, in order to obtain an equality on the number of (m , n) -cubes. In this PhD thesis, our research, (coming from Computer Science and applied to Computer Science) use various fields of mathematics: Combinatorics, Number Theory (Elementary, Analytical and Combinatorics), Theory of Graphs particular. The most significant results are: an exact formula for the Cardinal of order Farey straight (m, n), and the asymptotic behavior of this amount. We also obtained a nontrivial lower bound for the cardinality of the set of order Farey vertices (m, n). Finally, we proposed a bound on the cardinality of the (m, n)-cubes by the number of connected components obtained by drawing the order Farey plans (m, n, 1). For each of these results, we gave direct applications in Discrete Geometry.