Algèbres d'Iwasawa pour les groupes de Lie p-adiques et les groupes de Galois

par Jishnu Ray

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Laurent Clozel.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Arithmétique et géométrie algébrique (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2015 .


  • Résumé

    Il s'agit d'un sujet codirigé par A. Mézard (IMJ) et Laurent Clozel (Paris-Sud), chacun à 50%. La théorie des nombres algébriques s'intéresse à la structure des corps de nombres K, extensions finies du corps des nombres rationnels Q. La cohomologie galoisienne fournit une stratégie efficace pour les étudier. Les corps p-rationnels sont les corps ayant une cohomologie p-adique simple. Depuis une centaine d'années, autour d'eux se sont accumulées de nombreuses conjectures en théorie d'Iwasawa. Les méthodes développées dans le cadre du programme de Langlands p-adique, permettent une revisite fructeuse des conjectures classiques. L'étude via la géométrie arithmétique de l'image des représentations galoisiennes p-adiques conduit à concevoir de nouvelles familles de corps p-rationnels. Citons les conjectures de Greenberg sur les corps p-rationnels obtenus comme extension de plusieurs extensions quadratiques. Greenberg conjecture notamment qu'il existe un corps p-rationnel dont le groupe de Galois G=Gal(K/Q) est de la forme (Z/2Z)^l. En existe-t-il une infinité ? Ces questions se généralisent naturellement au cas de groupes de Lie p-adiques G dont il faudra déterminer un système de générateurs en lien avec la structure du corps de nombres. Le sujet envisage donc deux problèmes. D'abord, étendre en rang supérieur , pour des groupes de Chevalley, par ex. SL(n) la présentation de l'algèbre d'Iwasawa obtenue par L.C. (Documenta Math., 2011.) Ensuite, reprendre les conjectures de Greenberg : construire de nouvelles familles de corps K totalement complexes p-rationnels en utilisant la structure de leurs groupes de Galois comme modules d'Iwasawa.

  • Titre traduit

    Iwasawa algebras for p-adic Lie groups and Galois groups


  • Résumé

    This is a thesis proposed by Prof. Laurent Clozel (Paris-Sud) and Prof. A. Mezard (IMJ) 50 % each. Theory of algebraic numbers deals with the structures of algebraic number field K, finite extensions of rational numbers Q. The Galois cohomology provides an effective strategy for studying them. The p-rational field are fields with a simple p-adic cohomology. For a hundred years, many conjectures in Iwasawa theory have accumulated around them. The method developed in the p-adic Langlands program, allow us to revisit classical conjectures. The study via arithmetic geometry of the image of p-adic Galois representations led to construct new families of p-rational fields. We quote Greenberg conjectures on p-rational fields obtained as an extension of several quadratic extensions. Greenberg conjectured that there exists a p-rational field whose Galois group G=Gal(K/Q) is of the form (Z/2Z)^l. Are there infinite such fields? These questions can be naturally generalized to p-adic lie group The subject is therefore to consider two problems. First, obtain the superior rank for the groups of Chevalley,by ex. Sl(n) the presentation of Iwasawa algebra obtained by L.C. (Documenta Math., 2011.) Then take the conjectures of Greenberg, construct new families of field K, totally complex p-rational by utilizing the structure of their Galois groups as Iwasawa module.