Résultats de régularité et d'existence pour des ensembles minimaux; problème de Plateau

par Edoardo Cavallotto

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Guy David.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2014 .


  • Résumé

    Le projet est sur les différentes variantes du problème de Plateau. Il y en a plusieurs, mais l'idée générale est la suivante: étant donné un bord B, on essaie de minimiser l'aire d'un ensemble E ayant ce bord. Une partie non triviale du problème est cachée dans le choix d'une définition appropriée de "aire" et "bord". En particulier, nous sommes intéressés par une formalisation, similaire à celle d'Almgren, où l'aire est la mesure de Hausdorff et le bord est exprimée en termes d'une famille à un paramètre de déformation. On se concentre sur l'existence de minimiseurs (une propriété qui n'était pas encore largement étudiée soit dans le contexte d'Almgren soit dans celui des minimiseurs de taille), ainsi que dans le proprietées de regularité des minimiseurs (et, en règle générale, des presque minimiseurs) notamment près de la frontière, un autre question qui n'a pas été étudiée beaucoup.

  • Titre traduit

    Existence and regularity results for minimal sets; Plateau problem


  • Résumé

    The project is about different variants of the Plateau problem. There are many of them but the general idea is the following: given a boundary set B, one tries to minimize the area of a set E bounded by B. Part of the problem is hidden in the choice of a suitable definition of “area” and “bounded by”. In particular we are interested in a formalisation, similar to Almgren's, where the area is the Hausdorff measure and the boundary condition is expressed in terms of a one parameter family of deformation. We are concerned in the existence of minimizers (a property that is still widely unknown both in Almgren's and in size minimizing current framework) as well as in minimiser's (and, in general, almost minimiser's) regularity properties, in particular near the boundary, another question that has not been investigated very much.