Groupes hyperboliques et groupes cubiques

par Suraj krishna Meda Satish

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Frédéric Haglund et de Thomas Delzant.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Topologie et Dynamique (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2015 .


  • Résumé

    En géométrie des groupes de type fini, les groupes hyperboliques au sens de Gromov sont omniprésents. Définis par une condition à la fois très simple et très souple sur leur graphe de Cayley (se plonger de façon bilipschitz dans l'espace hyperbolique réel), les groupes hyperboliques sont extrêmement variés. De sorte qu'assez peu de propriétés valables pour tous les groupes hyperboliques sont actuellement connues. Obtenir des résultats plus précis pour des classes particulières de groupes hyperboliques reste donc intéressant. La notion de groupe cubique CAT(0) (cubique en abrégé), également introduite par Gromov, est beaucoup plus restrictive que celle de groupe hyperbolique. Sans rentrer dans les détails, un groupe est cubique s'il admet une action raisonnable sur un produit d'arbres simpliciaux, ou plus généralement sur un sous-complexe convenable d'un produit d'arbres. Les groupes libres et les groupes de surfaces sont cubiques. D'après Kahn-Markovic et Bergeron-Wise les réseaux uniformes de H3 sont cubiques ; par contraste, les réseaux uniformes des espaces hyperboliques complexes ne sont pas cubiques (sauf dans le cas banal où ce sont des groupes de surface). Dans le modèle à densité de groupes aléatoires proposé par Gromov, les groupes non triviaux sont tous hyperboliques, et ils sont cubiques dès que la densité des relateurs est assez faible, mais ils ne sont pas cubiques pour une densité de relateurs trop élevée. En résumé, les groupes hyperboliques qui sont cubiques ont une petite complexité. Et pourtant, la classe des groupes cubiques hyperboliques retient l'attention des géomètres des groupes, depuis les résultats spectaculaires d'Agol et de Wise : en plongeant virtuellement ces groupes cubiques hyperboliques dans des groupes d'Artin à angles droits, ils ont réussi à résoudre les dernières conjectures de Thurston concernant les variétés hyperboliques compactes de dimension 3. Notamment le H1 virtuel de ces variétés est de dimension infinie : les morphismes virtuels du groupe fondamental sur Z abondent. La thèse de Suraj Krishna consistera à étudier les rapports entre groupes hyperboliques et groupes cubiques, notamment dans l'une ou l'autre direction suivante : 1. si un groupe hyperbolique n'est pas virtuellement libre, contient-il un groupe cubique non virtuellement libre ? comme par exemple un groupe de surface ? 2. si un groupe hyperbolique est localement indicable, est-il cubique ? (un groupe est localement indicable si tout sous-groupe de type fini se surjecte sur Z) Un cas très particulier de cette dernière question a été traité tout récemment par Hagen et Wise, dans un article sur lequel Suraj Krishna a travaillé pour son mémoire de M2. Pour montrer qu'un groupe est cubique, Hagen et Wise trouvent beaucoup de sous-groupes quasi-convexes qui séparent le groupe ambiant “à l'infini”. Suraj est donc déjà familier de certaines méthodes pour construire un plongement bilipschitz d'un groupe (ici : libre) dans un groupe hyperbolique. Cette compétence devrait être largement exploitable pour aborder les problèmes ci-dessus. L'étude de ces questions dans des cas particuliers serait déjà non triviale : par exemple, lorsque le groupe hyperbolique est le groupe fondamental d'un 2-complexe à courbure négative ou nulle

  • Titre traduit

    Hyperbolic groups and Cubical groups


  • Résumé

    In the geometry of finitely generated groups, hyperbolic groups (in the sense of Gromov) are ubiquitous. Defined by a condition both very simple and very flexible on their Cayley graph (which embeds in a bilipschitz way in real hyperbolic space), hyperbolic groups are extremely diverse. So relatively few valuable properties of all hyperbolic groups are currently known. Obtaining more precise results for particular classes of hyperbolic groups hence remains interesting. The notion of CAT(0) cubical groups (cubical for short), also introduced by Gromov, is much more restrictive than that of hyperbolic groups. Without going into details, a group is cubical if it has a reasonable action on a product of simplicial trees, or more generally on a suitable sub-complex of a product of trees. Free groups and surface groups are cubical. According to Kahn-Markovic and Bergeron-Wise, uniform lattices of H3 are cubical; in contrast, uniform lattices of complex hyperbolic spaces are not cubical (except in the trivial case, where they are surface groups). In the density model of random groups proposed by Gromov, nontrivial groups are all hyperbolic, and they are cubical as soon as the density of relators is small enough, but they are not cubical when the density is too high. In short, hyperbolic groups which are cubical have a small complexity. And yet, the class of hyperbolic cubical groups has commanded the attention of geometric group theorists ever since the spectacular results of Agol and Wise: by virtually embedding these hyperbolic cubical groups in right-angled Artin groups, they successfully resolved the last of the Thurston conjectures regarding compact hyperbolic 3-manifolds. In particular, the virtual H1 of these manifolds has infinite dimension: virtual morphisms of the fundamental group to Z abound. The thesis of Suraj Krishna will entail the study of the relationship between hyperbolic groups and cubical groups, especially in either of the following directions: (1) If a hyperbolic group is not virtually free, does it contain a non-virtually free cubical group, such as a surface group? (2) If a hyperbolic group is locally indicable, is it cubical (a group is locally indicable if every finitely generated subgroup surjects onto Z)? A very special case of the second question has been treated recently by Hagen and Wise, in an article on which Suraj Krishna worked for his M2 memoire. To show that a group is cubical, Hagen and Wise find many quasi-convex subgroups which separate the ambient group “at infinity”. Suraj is therefore already familiar with some methods for constructing a bilipschitz embedding of a group (here: free) into a hyperbolic group. This skill should be widely exploited for addressing the above problems. The study of these questions in individual cases will already be non-trivial: for example, when the hyperbolic group is the fundamental group of a nonpositively curved 2-complex.